Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em .
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em , e pede para mostrar que (i) essa série converge para todo (ou seja, está bem definida em ) e (ii) a função satisfaz a EDO
Para isso usaremos teste da razão para a convergência, depois diferenciamos termo a termo a série (pois tem raio de convergência infinito) e, enfim, fazemos para verificar que dá zero.
Passo 2
Mostramos que a série converge para todo pelo teste da razão. Seja
então
Como o limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito e a série define uma função inteira.
Passo 3
Como o raio de convergência é infinito, podemos derivar termo a termo. Primeiro note que
A série converge para todo (raio de convergência infinito) e, ao diferenciar termo a termo e substituir em , obtemos zero. Assim está bem definida em e resolve