Prove que a função f: R R dada por f(x)=sumn=1^infty (-1)^n+1(n-1)!n! x^n está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
x y^prime prime+y=0
em R.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
definida em , e pede para mostrar que (i) essa série converge para todo (ou seja, está bem definida em ) e (ii) a função satisfaz a EDO
Para isso usaremos teste da razão para a convergência, depois diferenciamos termo a termo a série (pois tem raio de convergência infinito) e, enfim, fazemos para verificar que dá zero.

Passo 2

Mostramos que a série converge para todo x pelo teste da razão. Seja
an=(-1)^n+1(n-1)!,n!,
então
|an+1,x^n+1an,x^n| =|(-1)^n+2n!,(n+1)!,(n-1)!,n!(-1)^n+1,x| =|x|n+1 longrightarrow0(ntoinfty)
Como o limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito e a série define uma função inteira.

Passo 3

Como o raio de convergência é infinito, podemos derivar termo a termo. Primeiro note que
f(x)=sumn=1^inftyan,x^n,
logo
f'(x) =sumn=1^inftyn,an,x^n-1 =sumn=1^infty(-1)^n+1,n(n-1)!,n!,x^n-1 =sumk=0^infty(-1)^kk!,k!,x^k,
onde fizemos k=n-1.
Em seguida,
f''(x) =sumk=0^inftyk;(-1)^kk!,k!,x^k-1 =sumk=1^infty(-1)^k(k-1)!,k!,x^k-1 =sumj=0^infty(-1)^j+1j!,(j+1)!,x^j,
fazendo j=k-1.

Passo 4

Vamos formar . Usando o índice em ambos:
e
Logo
em cada termo, pois . Portanto
em todo .

Resposta

A série converge para todo (raio de convergência infinito) e, ao diferenciar termo a termo e substituir em , obtemos zero. Assim está bem definida em e resolve

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