Prove (usando \epsilon e \delta ) que \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x}{x+2}=\frac{1}{3}.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição com \epsilon e \delta, que
\lim_{x\to 1} \frac{x}{x+2} = \frac{1}{3}.
Informações dadas:
A função é f(x)=\dfrac{x}{x+2}.
O ponto de interesse é x\to 1.
O valor candidato para o limite é \dfrac{1}{3}.
O que preciso mostrar formalmente: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right|<\epsilon.
Passo 2
Relembrando a definição \epsilon-\delta de limite (de forma direta e curta):
Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, para todo \epsilon>0, existir \delta>0 tal que
Aqui a=1, f(x)=\dfrac{x}{x+2} e L=\dfrac{1}{3}. A estratégia é manipular |f(x)-L| algebricamente para encontrar uma desigualdade do tipo |f(x)-L| \le C\cdot|x-1| (com C controlável), e então escolher \delta em função de \epsilon.
Passo 3
Calcular a diferença \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right| e simplificá-la:
Note que a expressão contém |x+2| no denominador. Para evitar problemas e obter uma desigualdade útil, vou restringir x a ficar perto de 1 de modo que x+2 fique longe de zero e fique dentro de um intervalo simples de manipular. Uma escolha padrão é exigir |x-1|<1. Se |x-1|<1 então
-1<x-1<1 \quad\Longrightarrow\quad 0<x<2.
Somando 2 em todas as desigualdades obtemos
2<x+2<4.
Portanto, sob a hipótese |x-1|<1, tem-se |x+2|=x+2>2. Assim
\frac{1}{|x+2|}\le \frac{1}{2}.
Passo 5
Usando o resultado anterior na expressão do Passo 3:
Isso prova a condição da definição \epsilon-\delta.
Passo 8
Concluo a prova formal: para todo \epsilon>0 tomando \delta=\min\{1,3\epsilon\} tem-se que 0<|x-1|<\delta implica \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right|<\epsilon. Logo, pela definição \epsilon-\delta, vale