Prove (usando \epsilon e \delta ) que \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x}{x+2}=\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição com \epsilon e \delta, que
\lim_{x\to 1} \frac{x}{x+2} = \frac{1}{3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{x+2}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
  • O valor candidato para o limite é \dfrac{1}{3}.
    O que preciso mostrar formalmente: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right|<\epsilon.

Passo 2

Relembrando a definição \epsilon- \delta de limite (de forma direta e curta):
Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, para todo \epsilon>0, existir \delta>0 tal que
0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\epsilon.
Aqui a=1, f(x)=\dfrac{x}{x+2} e L=\dfrac{1}{3}. A estratégia é manipular |f(x)-L| algebricamente para encontrar uma desigualdade do tipo |f(x)-L| \le C\cdot|x-1| (com C controlável), e então escolher \delta em função de \epsilon.

Passo 3

Calcular a diferença \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right| e simplificá-la:
\left|\frac{x}{x+2}-\frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3x-(x+2)}{3(x+2)}\right| = \left|\frac{2x-2}{3(x+2)}\right| = \frac{2}{3}\cdot\frac{|x-1|}{|x+2|}.

Passo 4

Note que a expressão contém |x+2| no denominador. Para evitar problemas e obter uma desigualdade útil, vou restringir x a ficar perto de 1 de modo que x+2 fique longe de zero e fique dentro de um intervalo simples de manipular. Uma escolha padrão é exigir |x-1|<1. Se |x-1|<1 então
-1<x-1<1 \quad\Longrightarrow\quad 0<x<2.
Somando 2 em todas as desigualdades obtemos
2<x+2<4.
Portanto, sob a hipótese |x-1|<1, tem-se |x+2|=x+2>2. Assim
\frac{1}{|x+2|}\le \frac{1}{2}.

Passo 5

Usando o resultado anterior na expressão do Passo 3:
\left|\frac{x}{x+2}-\frac{1}{3}\right| = \frac{2}{3}\cdot\frac{|x-1|}{|x+2|} \le \frac{2}{3}\cdot\frac{|x-1|}{2} = \frac{1}{3}\,|x-1|,
sempre que |x-1|<1. Isso é ótimo: conseguimos um limite superior simples proporcional a |x-1|.

Passo 6

Queremos \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right|<\epsilon. A desigualdade do Passo 5 mostra que basta garantir
\frac{1}{3}\,|x-1|<\epsilon \quad\Longrightarrow\quad |x-1|<3\epsilon.
Assim, se conseguirmos que |x-1|<\min\{1,\,3\epsilon\}, então duas coisas ocorrem simultaneamente:
  • a hipótese |x-1|<1 que permitiu a estimativa do denominador, e
  • a condição |x-1|<3\epsilon que garante \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right|<\epsilon.

Passo 7

Definir explicitamente \delta em função de \epsilon. Para um dado \epsilon>0, escolha
\delta = \min\{1,\,3\epsilon\}.
Agora verifico a implicação necessária: seja x tal que 0<|x-1|<\delta. Então |x-1|<1 e |x-1|<3\epsilon. Pelo Passo 5 segue que
\left|\frac{x}{x+2}-\frac{1}{3}\right|\le \frac{1}{3}\,|x-1|<\frac{1}{3}\cdot 3\epsilon=\epsilon.
Isso prova a condição da definição \epsilon- \delta.

Passo 8

Concluo a prova formal: para todo \epsilon>0 tomando \delta=\min\{1,3\epsilon\} tem-se que 0<|x-1|<\delta implica \left|\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{3}\right|<\epsilon. Logo, pela definição \epsilon- \delta, vale
\lim_{x\to 1}\frac{x}{x+2}=\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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