Seja
definido por
. Prove que
é um homomorfismo de grupos. Determine o núcleo e a imagem de
;
Passo 1
O enunciado define a aplicação
Aqui trabalhamos com os grupos aditivos
e
. Para mostrar que
é homomorfismo, usamos a definição
Passo 2
Sejam
. Então
Pela propriedade da congruência módulo 6, temos
Logo
preserva a soma, ou seja, é homomorfismo de grupos.
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto de todos os
tais que
é o elemento neutro em
, isto é,
. Então
Passo 4
A imagem de
é