Seja f: Z Z6 definido por f(n)=n bmod 6. Prove que f é um homomorfismo de grupos. Determine o núcleo e a imagem de f;

Passo 1

O enunciado define a aplicação
fcolon ZtoZ6 por f(n)=nbmod 6
Aqui trabalhamos com os grupos aditivos l(Z,+r) e l(Z6,+r). Para mostrar que f é homomorfismo, usamos a definição
f(a+b)=f(a)+f(b)

Passo 2

Sejam m,ninZ. Então
f(m+n) = (m+n)bmod 6
Pela propriedade da congruência módulo 6, temos
(m+n)bmod 6 = l(mbmod 6 + nbmod 6r)bmod 6 = f(m)+f(n)
Logo f preserva a soma, ou seja, é homomorfismo de grupos.

Passo 3

O núcleo de f é o conjunto de todos os ninZ tais que f(n) é o elemento neutro em Z6, isto é, [0]. Então
ker(f) = ,ninZmid nbmod 6 = 0 = 6kmid kinZ = 6Z

Passo 4

A imagem de f é
Im(f) = ,f(n)mid ninZ = 0,1,2,3,4,5 = Z6

Resposta

f é homomorfismo de grupos aditivos.
ker(f)=6Z.
Im(f)=Z6.

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