Seja g:(R,+) (R^*, cdot) definido por g(x)=e^x. Prove que g é um homomorfismo de grupos. Determine se g é injetivo e/ou sobrejetivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
gcolon (R,+) to (R^*,cdot), g(x)=e^x
é um homomorfismo de grupos. Depois, determinar se g é injetiva e/ou sobrejetiva. Para isso, vamos usar as definições:
g é homomorfismo se g(x+y)=g(x),g(y) para todos x,yinR;
g é injetiva se g(x)=g(y) implica x=y;
g é sobrejetiva se todo elemento de R^* tem um xinR com g(x) igual a esse elemento.

Passo 2

Mostramos a propriedade de homomorfismo verificando diretamente que
g(x+y)=e^,x+y
= e^x ,e^y
= g(x),g(y)

Passo 3

Para injetividade, suponha g(x)=g(y). Então
e^x = e^y
Aplicando o logaritmo natural, obtemos
x = ln(e^x) = ln(e^y) = y
Logo g é injetiva.

Passo 4

Para sobrejetividade, tomemos um zinR^*. Se z>0, existe x=ln(z) em R tal que g(x)=e^x=z. Mas se z<0, não há xinR com e^x=z, pois e^x é sempre positivo. Portanto g não é sobrejetiva em R^*.

Resposta

g é homomorfismo de grupos.
g é injetiva.
g não é sobrejetiva.

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