Seja
definido por
. Prove que
é um homomorfismo de grupos. Determine se
é injetivo e/ou sobrejetivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
é um homomorfismo de grupos. Depois, determinar se
é injetiva e/ou sobrejetiva. Para isso, vamos usar as definições:
– é homomorfismo se
para todos
;
– é injetiva se
implica
;
– é sobrejetiva se todo elemento de
tem um
com
igual a esse elemento.
–
–
–
Passo 2
Mostramos a propriedade de homomorfismo verificando diretamente que
Passo 3
Para injetividade, suponha
. Então
Aplicando o logaritmo natural, obtemos
Logo
é injetiva.
Passo 4
Para sobrejetividade, tomemos um
. Se
, existe
em
tal que
. Mas se
, não há
com
, pois
é sempre positivo. Portanto
não é sobrejetiva em
.
Resposta
–
é homomorfismo de grupos.
– é injetiva.
– não é sobrejetiva.
–
–