Sendo a e b números complexos constantes, prove que
lim z z0(a z+b)=a z0+b e lim z z0(a z^2+b z+c)=a z0^2+b z0+c

Passo 1

Temos um problema de limites de funções polinomiais em variáveis complexas. Precisamos provar que para constantes complexas a, b e c vale:
limz to z0(a z + b) = a z0 + b
limz to z0(a z^2 + b z + c) = a z0^2 + b z0 + c
Para isso usaremos a definição varepsilon- de de limite em C e propriedades do módulo.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que f(z) tende a L em z0 se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que 0<|z-z0| então |f(z)-L|. Também usaremos que para complexos vale |zw|=|z|,|w| e desigualdade triangular.

Passo 3

Para f(z)=a z+b, calculemos a diferença ao limite proposto:
|f(z)-(a z0 + b)|=|a z + b - (a z0 + b)|=|a||z-z0|
Dado varepsilon>0, basta escolher
de
para garantir |a|,|z-z0|. Assim limzto z0(a z+b)=a z0+b.

Passo 4

Para g(z)=a z^2 + b z + c, fazemos a diferença:
g(z)-(a z0^2 + b z0 + c)=a(z^2-z0^2)+b(z-z0)=(z-z0)igl(a(z+z0)+br) 
Logo
|g(z)-(a z0^2 + b z0 + c)|=|z-z0|,|a(z+z0)+b|
Escolhendo primeiro de temos |z-z0|<1implies|z|<=|z0|+1. Então
|a(z+z0)+b|<=|a|(|z|+|z0|)+|b|<=|a|(2|z0|+1)+|b|=M
Para um dado varepsilon>0, basta escolher
de
para assegurar |z-z0|,M. Assim
limzto z0(a z^2 + b z + c)=a z0^2 + b z0 + c.

Resposta

limzto z0(a z + b)=a z0 + b e limzto z0(a z^2 + b z + c)=a z0^2 + b z0 + c.

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