Prove que as funções dadas não são diferenciáveis:
f(x, y)=x+y

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função f(x,y)=x+y não é diferenciável.
Informações dadas: a função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=x+y.
Pergunta explícita: demonstrar que f não é diferenciável (em algum ponto ou em todo o domínio — o enunciado não especifica, então a interpretação natural seria investigar diferenciabilidade em pontos gerais de \mathbb{R}^2).

Passo 2

Vamos lembrar cuidadosamente a definição de diferenciabilidade que vamos usar (essa é a ferramenta central e a que você deve saber para a prova). Dizemos que uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável no ponto (a,b) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
Aqui:
  • (h,k) é o pequeno vetor de variação: h é a variação em x e k a variação em y.
  • L é a melhor aproximação linear de f em (a,b); quando existe, costuma ser dado por
L(h,k)=f_x(a,b)\,h + f_y(a,b)\,k,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais. Essa é a forma usual do diferencial (o gradiente fornece os coeficientes).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x+y. Por definição,
f_x(x,y)=\lim_{t\to0}\frac{f(x+t,y)-f(x,y)}{t}
e
f_y(x,y)=\lim_{t\to0}\frac{f(x,y+t)-f(x,y)}{t}.
Para f(x,y)=x+y temos:
f_x(x,y)=\lim_{t\to0}\frac{(x+t)+y-(x+y)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{t}{t}=1,
f_y(x,y)=\lim_{t\to0}\frac{x+(y+t)-(x+y)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{t}{t}=1.
Portanto as derivadas parciais existem em todo ponto e valem 1 em qualquer (x,y).

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, a candidata natural para a aplicação linear L é
L(h,k)=1\cdot h + 1\cdot k = h+k.
Agora vamos verificar a definição de diferenciabilidade usando essa L. Calcule a diferença entre a variação real de f e a aproximação linear:
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k).
Substituindo f(x,y)=x+y obtemos:
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k) = (a+h)+(b+k)-(a+b)-(h+k).

Passo 5

Simplificando a expressão do passo anterior:
(a+h)+(b+k)-(a+b)-(h+k) = a+h+b+k-a-b-h-k = 0.
Então o resto (a diferença entre a variação real e a aproximação linear) é exatamente zero para todo (h,k). Em símbolos:
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)=0\quad\text{para todo }(h,k).

Passo 6

Agora verifiquemos o limite da definição de diferenciabilidade:
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{0}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0.
Como esse limite é 0, pela definição f é diferenciável no ponto arbitrário (a,b). Como (a,b) era um ponto qualquer de \mathbb{R}^2, concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

Passo 7

Interpretação prática e dica para a prova (aula curta e amigável): funções afins/lineares do tipo \,f(x,y)=Ax+By+C, são exatamente aquelas que coincidem com sua aproximação linear em todos os pontos — o resto é nulo. Logo são diferenciáveis em todo lugar. Quando você for para a prova e alguém pedir para mostrar que uma função não é diferenciável, primeiro verifique se a função é linear/afim: nesse caso a tentativa de mostrar não diferenciabilidade falhará porque a função é diferenciável por construção. Respira fundo, faz essa verificação rápida e segue.

Resposta

A afirmação é falsa: f(x,y)=x+y é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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