Prove que as funções dadas não são diferenciáveis:
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função
não é diferenciável.
Informações dadas: a função é definida por
.
Pergunta explícita: demonstrar que não é diferenciável (em algum ponto ou em todo o domínio — o enunciado não especifica, então a interpretação natural seria investigar diferenciabilidade em pontos gerais de
).
Informações dadas: a função é
Pergunta explícita: demonstrar que
Passo 2
Vamos lembrar cuidadosamente a definição de diferenciabilidade que vamos usar (essa é a ferramenta central e a que você deve saber para a prova). Dizemos que uma função
é diferenciável no ponto
se existe uma aplicação linear
tal que
Aqui:
-
é o pequeno vetor de variação: é a variação em e a variação em . -
é a melhor aproximação linear de em ; quando existe, costuma ser dado por
onde
e
são as derivadas parciais. Essa é a forma usual do diferencial (o gradiente fornece os coeficientes).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Por definição,
e
Para
temos:
Portanto as derivadas parciais existem em todo ponto e valem
em qualquer
.
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, a candidata natural para a aplicação linear
é
Agora vamos verificar a definição de diferenciabilidade usando essa
. Calcule a diferença entre a variação real de
e a aproximação linear:
Substituindo
obtemos:
Passo 5
Simplificando a expressão do passo anterior:
Então o resto (a diferença entre a variação real e a aproximação linear) é exatamente zero para todo
. Em símbolos:
Passo 6
Agora verifiquemos o limite da definição de diferenciabilidade:
Como esse limite é
, pela definição
é diferenciável no ponto arbitrário
. Como
era um ponto qualquer de
, concluímos que
é diferenciável em todo
.
Passo 7
Interpretação prática e dica para a prova (aula curta e amigável): funções afins/lineares do tipo
, são exatamente aquelas que coincidem com sua aproximação linear em todos os pontos — o resto é nulo. Logo são diferenciáveis em todo lugar. Quando você for para a prova e alguém pedir para mostrar que uma função não é diferenciável, primeiro verifique se a função é linear/afim: nesse caso a tentativa de mostrar não diferenciabilidade falhará porque a função é diferenciável por construção. Respira fundo, faz essa verificação rápida e segue.
Resposta
A afirmação é falsa:
é diferenciável em todo
.