1. Se \sum a_{n} é absolutamente convergente prove que \sum a_{n}^{2} converge.
  2. Se \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, prove que \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente.
  3. Se \sum a_{n} é convergente e a_{n} \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}, então a série \sum a_{n} x^{n} é absolutamente convergente para todo x \in[-1,1] e \sum a_{n} \operatorname{sen}(n x), \sum a_{n} \cos (n x) são absolutamente convergentes para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede três provas de convergência absoluta usando testes de comparação e desigualdades básicas.
No item 46, parte-se de \sum a_n absolutamente convergente (ou seja, \sum |a_n|<\infty) e quer-se mostrar que \sum a_n^2 converge.
No item 47, sabe-se que \sum a_n^2 e \sum b_n^2 convergem, e deve-se provar que \sum a_n b_n converge absolutamente.
No item 48, parte-se de \sum a_n convergente com a_n\ge0 e quer-se concluir que \sum a_n x^n converge absolutamente para todo x\in[-1,1] e que \sum a_n\sin(nx), \sum a_n\cos(nx) também convergem absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

(46) Como \sum|a_n| converge, tem-se a_n\to0 e daí existe N tal que |a_n|<1 para todo n\ge N. Para n\ge N vale
|a_n^2| = |a_n|^2 \le |a_n|.
Dos termos iniciais n=1,\dots,N-1 obtemos uma soma finita, e da cauda
\sum_{n=N}^\infty |a_n^2| \;\le\; \sum_{n=N}^\infty |a_n| <\infty.
Pelo teste da comparação, \sum |a_n^2| converge, logo \sum a_n^2 converge.

Passo 3

(47) Usamos a desigualdade de dois quadrados: para todo n,
2\,|a_n b_n| \;\le\; a_n^2 + b_n^2.
Somando-se em n obtemos
\sum_{n=1}^\infty |a_n b_n| \;\le\; \frac12\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n^2 + b_n^2\bigr) = \frac12\Bigl(\sum_{n=1}^\infty a_n^2 + \sum_{n=1}^\infty b_n^2\Bigr) <\infty.
Logo \sum a_n b_n converge absolutamente.

Passo 4

(48) Como a_n\ge0 e \sum a_n<\infty, para todo x\in[-1,1] tem-se |x|^n\le1, de modo que
|a_n x^n| = a_n\,|x|^n \;\le\; a_n.
Pelo teste da comparação, \sum a_n x^n converge absolutamente para todo x\in[-1,1].
De modo análogo, como |\sin(nx)|\le1 e |\cos(nx)|\le1, vale
|a_n\sin(nx)|\le a_n,\quad |a_n\cos(nx)|\le a_n,
e portanto \sum a_n\sin(nx) e \sum a_n\cos(nx) convergem absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(46) \displaystyle \sum a_n^2 converge.
(47) \displaystyle \sum a_n b_n converge absolutamente.
(48) \displaystyle \sum a_n x^n é absolutamente convergente para todo x\in[-1,1] e \displaystyle \sum a_n\sin(nx), \sum a_n\cos(nx) são absolutamente convergentes para todo x\in\mathbb{R}.

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