Prove que a identidade está correta, ATravés da demonstraf̂̃o
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma identidade vetorial que envolve divergente, produto vetorial e rotacional (também conhecido como “curl”). A nossa missão é provar que:
Para resolver isso, precisamos lembrar das definições de divergente, rotacional e produto vetorial, e aplicar algumas regras de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular as definições básicas:
Produto Vetorial: Para dois vetores e , o produto vetorial é dado por:
Divergente: Para um vetor C = (Cx, Cy, Cz), o divergente é:
div C = partial Cxpartial x + partial Cypartial y + partial Czpartial z
Rotacional (Curl): Para um vetor A, o rotacional é:
rot A = nabla times A = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z Ax & Ay & Az
Passo 3
Agora, vamos calcular div(A times B) usando a definição do divergente aplicado ao produto vetorial:
div(A times B) = partialpartial x (Ay Bz - Az By) + partialpartial y (Az Bx - Ax Bz) + partialpartial z (Ax By - Ay Bx)
Passo 4
Vamos expandir as derivadas:
= ( partial Aypartial x Bz + Ay partial Bzpartial x - partial Azpartial x By - Az partial Bypartial x )
+ ( partial Azpartial y Bx + Az partial Bxpartial y - partial Axpartial y Bz - Ax partial Bzpartial y )
+ ( partial Axpartial z By + Ax partial Bypartial z - partial Aypartial z Bx - Ay partial Bxpartial z )
Passo 5
Vamos reorganizar os termos para identificar padrões:
= ( partial Aypartial x Bz - partial Azpartial x By + partial Azpartial y Bx - partial Axpartial y Bz + partial Axpartial z By - partial Aypartial z Bx )
+ ( Ay partial Bzpartial x - Az partial Bypartial x + Az partial Bxpartial y - Ax partial Bzpartial y + Ax partial Bypartial z - Ay partial Bxpartial z )
Passo 6
Perceba que o primeiro grupo de termos corresponde a B cdot (rot A) e o segundo grupo a A cdot (rot B). Então: