Prove que a identidade está correta, ATravés da demonstraf̂̃o
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que a identidade vetorial
está correta. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente, o rotacional (ou rot), o produto escalar e o operador nabla (
). Precisaremos aplicar as regras de derivação para funções vetoriais e escalares.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o gradiente de um produto escalar
pode ser expandido usando a regra do produto para derivadas. A regra do produto para o gradiente é semelhante à que usamos para derivadas de funções escalares:
Essa é uma forma geral de expandir o gradiente de um produto escalar entre dois campos vetoriais.
Passo 3
Vamos agora analisar cada termo dessa expansão:
-
: Isso significa que estamos aplicando o operador derivada na direção de sobre o vetor . -
: Similarmente, aplicamos o operador derivada na direção de sobre o vetor . -
: Aqui, fazemos o produto vetorial de com o rotacional de . -
: E, finalmente, o produto vetorial de com o rotacional de .
Passo 4
Agora, vamos reorganizar os termos para que fiquem na mesma ordem da identidade que estamos tentando provar:
Observamos que isso corresponde exatamente à identidade dada na questão.
Passo 5
Portanto, ao aplicar a regra do produto para o gradiente de um produto escalar e reorganizar os termos, mostramos que ambos os lados da identidade são iguais.
Resposta
A identidade está correta, pois a aplicação da regra do produto para o gradiente de um produto escalar resulta exatamente na expressão fornecida: