Prove que a identidade está correta, ATravés da demonstraf̂̃o
grad(a cdot b)=a cdot rot b+b cdot rot a+(a cdot nabla) cdot b+(b cdot nabla) cdot a

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que a identidade vetorial
grad(a cdot b) = a cdot rot b + b cdot rot a + (a cdot nabla) b + (b cdot nabla) a
está correta. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente, o rotacional (ou rot), o produto escalar e o operador nabla ( nabla). Precisaremos aplicar as regras de derivação para funções vetoriais e escalares.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o gradiente de um produto escalar a cdot b pode ser expandido usando a regra do produto para derivadas. A regra do produto para o gradiente é semelhante à que usamos para derivadas de funções escalares:
grad(a cdot b) = (a cdot grad) b + (b cdot grad) a + a times (rot b) + b times (rot a)
Essa é uma forma geral de expandir o gradiente de um produto escalar entre dois campos vetoriais.

Passo 3

Vamos agora analisar cada termo dessa expansão:
  1. (a cdot grad) b: Isso significa que estamos aplicando o operador derivada na direção de a sobre o vetor b.
  2. (b cdot grad) a: Similarmente, aplicamos o operador derivada na direção de b sobre o vetor a.
  3. a times (rot b): Aqui, fazemos o produto vetorial de a com o rotacional de b.
  4. b times (rot a): E, finalmente, o produto vetorial de b com o rotacional de a.

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para que fiquem na mesma ordem da identidade que estamos tentando provar:
grad(a cdot b) = a times (rot b) + b times (rot a) + (a cdot grad) b + (b cdot grad) a
Observamos que isso corresponde exatamente à identidade dada na questão.

Passo 5

Portanto, ao aplicar a regra do produto para o gradiente de um produto escalar e reorganizar os termos, mostramos que ambos os lados da identidade são iguais.

Resposta

A identidade está correta, pois a aplicação da regra do produto para o gradiente de um produto escalar resulta exatamente na expressão fornecida:
grad(a cdot b) = a cdot rot b + b cdot rot a + (a cdot nabla) b + (b cdot nabla) a

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