Prove, por indução, que
d^nd z^n 1z=(-1)^n n!z^n+1

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre ninN, que
d^ndz^n1z ;=;(-1)^n,n!z^,n+1
O que vamos usar é a regra da potência para derivar z^-m:
ddzz^-m = -m,z^-m-1

Passo 2

Verificamos o caso base n=0. Por definição de derivada de ordem zero temos
d^0dz^01z = 1z
E a fórmula dá
(-1)^0,0!z^0+1 = 1cdot1z = 1z,
logo vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=0 já seja verdade que
d^kdz^k1z = (-1)^k,k!z^,k+1

Passo 4

Vamos mostrar que daí segue o caso n=k+1. Basta derivar em z o resultado da hipótese:
d^k+1dz^k+11z =ddzl(d^kdz^k1zr) =ddzl((-1)^k,k!z^,k+1r)
Usando a regra da potência,
ddzl(z^-(k+1)r) =-(k+1),z^-(k+2),
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d^k+1dz^k+11z =(-1)^k,k!,l[-(k+1),z^-(k+2)r] =(-1)^k+1(k+1)!,z^-(k+2)
Isso é exatamente
(-1)^k+1(k+1)!z^,(k+1)+1,
que é o que queríamos para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo ninN.

Resposta

d^ndz^n1z = (-1)^n,n!z^,n+1

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