Prove, por indução, que
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, que
O que vamos usar é a regra da potência para derivar
:
Passo 2
Verificamos o caso base
. Por definição de derivada de ordem zero temos
E a fórmula dá
logo vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
já seja verdade que
Passo 4
Vamos mostrar que daí segue o caso
. Basta derivar em
o resultado da hipótese:
Usando a regra da potência,
logo
Isso é exatamente
que é o que queríamos para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo
.