Seja
uma função. Se
e
, mostre que:
Se
, então
. Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades de preservação de inclusão pela função
:
. Se
, então
.
. Se
, então
.
Conteúdo necessário: definição de imagem direta
Conteúdo necessário: definição de imagem direta
e definição de imagem inversa
Passo 2
Prova de
.
Seja .
Pela definição de imagem direta, existe tal que
.
Como , esse mesmo
pertence a
.
Logo .
Isso mostra que todo elemento de está em
, ou seja,
Seja
Pela definição de imagem direta, existe
Como
Logo
Isso mostra que todo elemento de
Passo 3
Prova de
.
Seja .
Pela defini\c{c}~ao de pr’e-imagem, isso significa que .
Como , segue que
.
Portanto .
Seja
Pela defini\c{c}~ao de pr’e-imagem, isso significa que
Como
Portanto
Passo 4
O enunciado pede para mostrar duas propriedades de preservação de inclusão pela função
:
. Se
, então
Para isso usamos as definições:
Passo 5
Prova de
.
Seja . Então existe
com
. Como
, segue
. Logo
. Assim todo elemento de
pertence a
, ou seja,
Seja
Passo 6
Prova de
.
Seja . Então
. Como
, temos
. Portanto
e assim
Seja