Seja f: A B uma função. Se X, X^prime subseteq A e Y, Y^prime subseteq B, mostre que:
Se X subseteq X^prime, então f(X) subseteq f(X^prime). Se Y subseteq Y^prime, então f^-1(Y) subset f^-1(Y^prime).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de preservação de inclusão pela função f:
1. Se Xsubseteq X'subseteq A, então f(X)subseteq f(X').
2. Se Ysubseteq Y'subseteq B, então f^-1(Y)subseteq f^-1(Y').
Conteúdo necessário: definição de imagem direta
f(X)=,yin Bmid exists,xin X tal que f(x)=y
e definição de imagem inversa
f^-1(Y)=,xin Amid f(x)in Y

Passo 2

Prova de f(X)subseteq f(X').
Seja yin f(X).
Pela definição de imagem direta, existe xin X tal que f(x)=y.
Como Xsubseteq X', esse mesmo x pertence a X'.
Logo y=f(x)in f(X').
Isso mostra que todo elemento de f(X) está em f(X'), ou seja,
f(X)subseteq f(X')

Passo 3

Prova de f^-1(Y) subseteq f^-1(Y').
Seja x in f^-1(Y).
Pela defini\c{c}~ao de pr’e-imagem, isso significa que f(x) in Y.
Como Y subseteq Y', segue que f(x) in Y'.
Portanto x in f^-1(Y').

Passo 4

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de preservação de inclusão pela função fcolon Ato B:
1. Se Xsubseteq X'subseteq A, então
f(X)subseteq f(X')
2. Se Ysubseteq Y'subseteq B, então
f^-1(Y)subseteq f^-1(Y')
Para isso usamos as definições:
f(X)=,yin Bmid exists,xin X tal que f(x)=y,
f^-1(Y)=,xin Amid f(x)in Y

Passo 5

Prova de f(X)subseteq f(X').
Seja yin f(X). Então existe xin X com f(x)=y. Como Xsubseteq X', segue xin X'. Logo y=f(x)in f(X'). Assim todo elemento de f(X) pertence a f(X'), ou seja,
f(X)subseteq f(X')

Passo 6

Prova de f^-1(Y)subseteq f^-1(Y').
Seja xin f^-1(Y). Então f(x)in Y. Como Ysubseteq Y', temos f(x)in Y'. Portanto xin f^-1(Y') e assim
f^-1(Y)subseteq f^-1(Y')

Resposta

Se Xsubseteq X' então f(X)subseteq f(X'), e se Ysubseteq Y' então f^-1(Y)subseteq f^-1(Y') ãã

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