Seja f: A B uma função. Se X, X^prime subseteq A e Y, Y^prime subseteq B, mostre que:
f^-1(CB Y)=CA(f^-1(Y)).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função fcolon Ato B e um subconjunto Ysubseteq B. Queremos mostrar que a pré-imagem da complementar de Y em B coincide com a complementar, em A, da pré-imagem de Y. Para isso vamos usar:
1. A definição de pré-imagem:
f^-1(S)=,xin Amid f(x)in S
2. A definição de complementar em cada conjunto:
CB Y = Bsetminus Y, CA X = Asetminus X

Passo 2

Mostramos primeiro
f^-1l(CBYr)subseteq CAl(f^-1(Y)r)
Seja xin f^-1(CB Y). Então, por definição, temos
f(x)in CB Y = Bsetminus Y,
isto é, f(x)notin Y. Logo xnotin f^-1(Y). Mas isso significa precisamente que
xin Asetminus f^-1(Y)=CAl(f^-1(Y)r)

Passo 3

Agora provamos
CAl(f^-1(Y)r)subseteq f^-1l(CBYr)
Seja xin CAl(f^-1(Y)r)=Asetminus f^-1(Y). Então xnotin f^-1(Y), ou seja, f(x)notin Y. Daí segue
f(x)in Bsetminus Y = CB Y
e, por definição de pré-imagem,
xin f^-1l(CB Yr)

Resposta

Pela dupla inclusão, concluímos
f^-1l(CBYr)=CAl(f^-1(Y)r)

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