Seja
uma função. Se
e
, mostre que:
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
e um subconjunto
. Queremos mostrar que a pré-imagem da complementar de
em
coincide com a complementar, em
, da pré-imagem de
. Para isso vamos usar:
. A definição de pré-imagem:
Passo 2
Mostramos primeiro
Seja
. Então, por definição, temos
isto é,
. Logo
. Mas isso significa precisamente que
Passo 3
Agora provamos
Seja
. Então
, ou seja,
. Daí segue
e, por definição de pré-imagem,
Resposta
Pela dupla inclusão, concluímos