Prove por indução que
4^{2 n-1}+1 é sempre divisível por 5 para todo n \geq 1;

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que a expressão
4^{2n-1} + 1
é sempre múltipla de 5 para todo n\ge1. O conteúdo é indução matemática aplicada a uma prova de divisibilidade.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. Substituindo, obtemos
4^{2\cdot1-1} + 1 = 4^{1} + 1 = 4 + 1 = 5,
e 5 é claramente divisível por 5. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Agora, suponha que para algum k\ge1 valha a hipótese de indução:
4^{2k-1} + 1\equiv 0 \pmod{5}.
Isto é, existe um inteiro m tal que
4^{2k-1} + 1 = 5m.

Passo 4

Precisamos mostrar que a partir disso segue que
4^{2(k+1)-1} + 1 = 4^{2k+1} + 1
também é múltiplo de 5. Escrevendo
4^{2k+1} + 1 = 4^2\cdot 4^{2k-1} + 1 = 16\cdot 4^{2k-1} + 1,
e usando 4^{2k-1} = 5m - 1, temos
16\cdot(5m - 1) + 1 = 80m - 16 + 1 = 80m - 15 = 5\,(16m - 3),
que é múltiplo de 5. Assim, a propriedade vale para n=k+1.

Resposta

Portanto, por indução, 4^{2n-1}+1 é divisível por 5 para todo n\ge1.

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