Prove por indução que
é sempre divisível por 5 para todo
;
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que a expressão
é sempre múltipla de
para todo
. O conteúdo é indução matemática aplicada a uma prova de divisibilidade.
Passo 2
Verificamos o caso base
. Substituindo, obtemos
e
é claramente divisível por
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Agora, suponha que para algum
valha a hipótese de indução:
Isto é, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Precisamos mostrar que a partir disso segue que
também é múltiplo de
. Escrevendo
e usando
, temos
que é múltiplo de
. Assim, a propriedade vale para
.
Resposta
Portanto, por indução,
é divisível por
para todo
.