Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(h) 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}, para todo inteiro n \geq 1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá a soma parcial dos inversos dos quadrados: 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}.
  • O que precisa ser provado é a desigualdade 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}para todo inteiro n\geq 1.

Passo 2

Breve explicação do método por indução (para você se situar): em prova por indução a gente faz duas coisas essenciais.
  • Base: mostra que a propriedade é verdadeira para um primeiro valor (aqui n=1).
  • Passo indutivo: assume que a propriedade vale para um inteiro genérico k (hipótese de indução) e a partir disso demonstra que ela também vale para k+1. Conclui-se, pelo princípio da indução matemática, que vale para todo n\ge1.
Definimos a propriedade P(n) como:
P(n):\quad 1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \le 2-\frac{1}{n}.

Passo 3

Base da indução: verificar P(1).
Calcular o lado esquerdo para n=1:
1
e o lado direito para n=1:
2-\frac{1}{1}=1.
Como 1 \le 1, a desigualdade é verdadeira para n=1. Logo P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que P(k) seja verdadeira para algum inteiro k\ge1; isto é, suponha que
1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k^{2}} \le 2-\frac{1}{k}.

Passo 5

Objetivo do passo indutivo: provar P(k+1), ou seja
1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}} \le 2-\frac{1}{k+1}.
Começamos da soma até k+1 e usamos a hipótese de indução:
1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}} \le \left(2-\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{(k+1)^{2}}.
Portanto basta mostrar que
\left(2-\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{(k+1)^{2}} \le 2-\frac{1}{k+1}.
Subtraindo 2 de ambos os lados obtemos a desigualdade equivalente
-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^{2}} \le -\frac{1}{k+1}.
Passando os termos negativos para o outro lado fica
\frac{1}{(k+1)^{2}} \le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.
Calcule o lado direito em uma única fração:
\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}.
Então precisamos provar
\frac{1}{(k+1)^{2}} \le \frac{1}{k(k+1)}.
Multiplicando ambos os lados por k(k+1)^{2}, que é positivo para k\ge1, obtemos uma forma equivalente e muito simples:
k \le k+1,
o que é obviamente verdadeiro. Assim a desigualdade necessária é verdadeira, e portanto
1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}} \le 2-\frac{1}{k+1}.
Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Pela base P(1) verdadeira e pelo passo indutivo (se P(k) então P(k+1)), concluímos, pelo princípio da indução matemática, que P(n) é verdadeira para todo inteiro n\ge1. Ou seja, para todo n\ge1 vale
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \le 2-\frac{1}{n}.

Resposta

1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^{2}} \le 2-\frac{1}{n}\quad\text{para todo inteiro }n\ge1.

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