Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(h)
, para todo inteiro
.
(h)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado nos dá a soma parcial dos inversos dos quadrados:
- O que precisa ser provado é a desigualdade
para todo inteiro .
Passo 2
Breve explicação do método por indução (para você se situar): em prova por indução a gente faz duas coisas essenciais.
- Base: mostra que a propriedade é verdadeira para um primeiro valor (aqui
). - Passo indutivo: assume que a propriedade vale para um inteiro genérico
(hipótese de indução) e a partir disso demonstra que ela também vale para . Conclui-se, pelo princípio da indução matemática, que vale para todo .
Definimos a propriedade
como:
Passo 3
Base da indução: verificar
.
Calcular o lado esquerdo para
:
e o lado direito para
:
Como
, a desigualdade é verdadeira para
. Logo
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que
seja verdadeira para algum inteiro
; isto é, suponha que
Passo 5
Objetivo do passo indutivo: provar
, ou seja
Começamos da soma até
e usamos a hipótese de indução:
Portanto basta mostrar que
Subtraindo
de ambos os lados obtemos a desigualdade equivalente
Passando os termos negativos para o outro lado fica
Calcule o lado direito em uma única fração:
Então precisamos provar
Multiplicando ambos os lados por
, que é positivo para
, obtemos uma forma equivalente e muito simples:
o que é obviamente verdadeiro. Assim a desigualdade necessária é verdadeira, e portanto
Isso completa o passo indutivo.
Passo 6
Pela base
verdadeira e pelo passo indutivo (se
então
), concluímos, pelo princípio da indução matemática, que
é verdadeira para todo inteiro
. Ou seja, para todo
vale