Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(g)
, para todo inteiro
.
(g)
Passo 1
O que o enunciado pede: provar, por indução matemática, que a igualdade abaixo é verdadeira para todo inteiro
:
Informações dadas: a soma é a soma dos primeiros
termos da sequência
(com
). O objetivo é mostrar que essa soma é igual à expressão fechada
para todo
.
Passo 2
O que é prova por indução (explicação didática e simples):
- Primeiro prova-se a base da indução: verificar que a fórmula é verdadeira para um
inicial (aqui ). - Depois assume-se que a fórmula é verdadeira para um certo
(essa suposição chama-se hipótese de indução). - A seguir mostra-se que, sob essa hipótese, a fórmula também é verdadeira para
. Esse passo chama-se passo indutivo.
Se ambos os passos forem feitos corretamente, então a propriedade vale para todo, por causa do princípio da indução matemática (que diz, de forma intuitiva: a base inicia a cadeia e o passo indutivo garante que a verdade se propaga de para ).
Passo 3
Base da indução (
). Calcular os dois lados para
.
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados coincidem, a fórmula é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um
arbitrário, com
. Ou seja, suponha que
Essa é a hipótese que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo — escrever a soma até
em função da soma até
. A soma até
é
Usando a hipótese de indução, a parte até
pode ser substituída pela expressão fechada, portanto
Passo 6
Algebrar o lado direito para obter a forma desejada. Começamos por fatorar
que é comum:
Agora somamos os termos no parêntese escrevendo
como
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Conclusão do passo indutivo: mostramos que, se
então também
Portanto a propriedade passa de
para
.
Passo 8
Conclusão final por indução: como a fórmula é verdadeira para
(base) e o passo indutivo foi provado, pelo princípio da indução a igualdade
vale para todo inteiro
.