Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(g) 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots+n \cdot(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}, para todo inteiro n \geq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar, por indução matemática, que a igualdade abaixo é verdadeira para todo inteiro n\ge 1:
1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.
Informações dadas: a soma é a soma dos primeiros n termos da sequência i(i+1) (com i=1,2,\dots,n). O objetivo é mostrar que essa soma é igual à expressão fechada \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} para todo n\ge 1.

Passo 2

O que é prova por indução (explicação didática e simples):
  • Primeiro prova-se a base da indução: verificar que a fórmula é verdadeira para um n inicial (aqui n=1).
  • Depois assume-se que a fórmula é verdadeira para um certo n=k (essa suposição chama-se hipótese de indução).
  • A seguir mostra-se que, sob essa hipótese, a fórmula também é verdadeira para n=k+1. Esse passo chama-se passo indutivo.
    Se ambos os passos forem feitos corretamente, então a propriedade vale para todo n\ge 1, por causa do princípio da indução matemática (que diz, de forma intuitiva: a base inicia a cadeia e o passo indutivo garante que a verdade se propaga de k para k+1).

Passo 3

Base da indução ( n=1). Calcular os dois lados para n=1.
Lado esquerdo:
1\cdot2=2.
Lado direito:
\frac{1\cdot(1+1)\cdot(1+2)}{3}=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=\frac{6}{3}=2.
Como os dois lados coincidem, a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um n=k arbitrário, com k\ge 1. Ou seja, suponha que
1\cdot2+2\cdot3+\cdots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.
Essa é a hipótese que vamos usar para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo — escrever a soma até k+1 em função da soma até k. A soma até k+1 é
1\cdot2+2\cdot3+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2).
Usando a hipótese de indução, a parte até k pode ser substituída pela expressão fechada, portanto
1\cdot2+\cdots+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2).

Passo 6

Algebrar o lado direito para obter a forma desejada. Começamos por fatorar (k+1)(k+2) que é comum:
\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right).
Agora somamos os termos no parêntese escrevendo 1 como \dfrac{3}{3}:
\frac{k}{3}+1=\frac{k}{3}+\frac{3}{3}=\frac{k+3}{3}.
Substituindo de volta:
(k+1)(k+2)\left(\frac{k+3}{3}\right)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}.

Passo 7

Conclusão do passo indutivo: mostramos que, se
1\cdot2+\cdots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3},
então também
1\cdot2+\cdots+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}.
Portanto a propriedade passa de k para k+1.

Passo 8

Conclusão final por indução: como a fórmula é verdadeira para n=1 (base) e o passo indutivo foi provado, pelo princípio da indução a igualdade
1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}
vale para todo inteiro n\ge 1.

Resposta

1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}

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