Prove que a integral integral-infty^+infty 1x^3+1 d x, não existe

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral-infty^+infty1x^3+1,dx
não converge. Aqui temos dois tipos de impropriedade: os limites em pminfty e a singularidade em x=-1 (onde x^3+1=0). Para provar que a integral não existe, vamos analisar separadamente a convergência em cada região.

Passo 2

Vamos escrever a integral como soma de duas integrais impróprias em torno de x=-1:
integral-infty^+infty1x^3+1,dx = limato -1^-integral-infty^a1x^3+1,dx ;+; limbto -1^+integralb^+infty1x^3+1,dx
Para existir a integral total, ambas as integrais parciais devem convergir.

Passo 3

Analisamos primeiro os extremos infinitos. Para |x|>=1 temos
|x^3+1|>= |,|x^3|-1| = |x|^3-1>= tfrac12|x|^3
desde que |x| seja suficientemente grande. Logo
|1x^3+1|<= 2|x|^3
E como
integralR^inftydxx^3 e integral-infty^-Rdx|x|^3
são convergentes (suas primitivas caem como tfrac1x^2), não há divergência em pminfty.

Passo 4

Falta, então, checar a vizinhança de x=-1. Note que
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),
e em x=-1 o fator x^2-x+1 vale 3 e é contínuo. Logo, para algum de<a>0 e |x+1|<de<a vale
|x^2-x+1|<= 4 Longrightarrow |1x^3+1| =1|x+1|,|x^2-x+1| >= 14,|x+1|
Mas a integral
integral-1-de<a^-1dx|x+1|
é equivalente a
integral0^de<adtt,
que diverge (logaritmo que tende a -infty). Portanto a parte em torno de x=-1 não converge.

Passo 5

Como a integral próxima a x=-1 diverge, concluímos que
integral-infty^+infty1x^3+1,dx
não existe (não converge).

Resposta

A integral não existe, pois diverge devido à singularidade em x=-1.

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