O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
não converge. Aqui temos dois tipos de impropriedade: os limites em e a singularidade em (onde ). Para provar que a integral não existe, vamos analisar separadamente a convergência em cada região.
Passo 2
Vamos escrever a integral como soma de duas integrais impróprias em torno de :
Para existir a integral total, ambas as integrais parciais devem convergir.
Passo 3
Analisamos primeiro os extremos infinitos. Para temos
desde que seja suficientemente grande. Logo
E como
integralR^inftydxx^3 e integral-infty^-Rdx|x|^3
são convergentes (suas primitivas caem como tfrac1x^2), não há divergência em pminfty.
Passo 4
Falta, então, checar a vizinhança de x=-1. Note que
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),
e em x=-1 o fator x^2-x+1 vale 3 e é contínuo. Logo, para algum de<a>0 e |x+1|<de<a vale