Prove que U(8) é isomórfico ao grupo de matrizes
(ll 1 & 0 0 & 1 ),(cc 1 & 0 0 & -1 ),(cc -1 & 0 0 & 1 ),(cc -1 & 0 0 & -1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o grupo U(8) é isomórfico a um certo grupo de matrizes. Isso envolve conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre isomorfismos entre grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o grupo U(8) e como mostrar que ele é equivalente (isomórfico) ao grupo das matrizes fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é U(8) . Em teoria de grupos, U(n) geralmente representa o grupo dos números inteiros que são invertíveis módulo n , ou seja, os números que são coprimos com n . Para U(8) , isso significa os números entre 1 e 7 que não têm nenhum divisor em comum com 8 além de 1.

Passo 3

Vamos listar os elementos de U(8) . Precisamos encontrar os números de 1 a 7 que são coprimos com 8. Os divisores de 8 são 1, 2, 4 e 8. Então, os números coprimos com 8 são aqueles que não são múltiplos de 2:
U(8) = 1, 3, 5, 7

Passo 4

Agora, vamos analisar o grupo das matrizes fornecidas:
1 & 0 0 & 1 , 1 & 0 0 & -1 , -1 & 0 0 & 1 , -1 & 0 0 & -1
Essas são matrizes diagonais 2x2 com entradas iguais a 1 ou -1. Vamos chamar esse grupo de G .

Passo 5

Para provar que U(8) é isomórfico a G , precisamos mostrar que existe uma bijeção (uma correspondência um-a-um e sobre) entre os elementos de U(8) e G que preserva a operação do grupo (no caso, a multiplicação).

Passo 6

Vamos definir uma função phi: U(8) G da seguinte forma:
phi(a) = a & 0 0 & a
Mas percebemos que essa função mapeia cada elemento de U(8) para uma matriz com entradas iguais a a . No entanto, queremos que as matrizes tenham entradas 1 ou -1. Então, precisamos ajustar nossa função.

Passo 7

Observando que em U(8) , os elementos são 1, 3, 5, 7 . Vamos mapear cada um deles para as matrizes correspondentes de forma que a estrutura do grupo seja preservada. Uma maneira de fazer isso é relacionar:
1 mapsto 1 & 0 0 & 1 , 3 mapsto 1 & 0 0 & -1 , 5 mapsto -1 & 0 0 & 1 , 7 mapsto -1 & 0 0 & -1

Passo 8

Vamos verificar se essa função phi é um isomorfismo:
  1. Bijeção: Cada elemento de U(8) é mapeado para uma matriz única em G , e vice-versa. Portanto, phi é bijetora.
  2. Preservação da operação: A multiplicação em U(8) corresponde à multiplicação das matrizes em G . Por exemplo:
3 times 5 equiv 15 equiv 7 (mod 8)
E:
1 & 0 0 & -1 times -1 & 0 0 & 1 = -1 & 0 0 & -1
Isso mostra que a estrutura do grupo é preservada.

Resposta

Portanto, U(8) é isomórfico ao grupo das matrizes fornecidas, pois existe uma correspondência um-a-um que preserva a operação de grupo entre eles.

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