Prove que é isomórfico ao subgrupo das matrizes com a seguinte forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o grupo multiplicativo dos números complexos não nulos, representado por C^*, é isomórfico a um subgrupo específico de matrizes 2x2. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre grupos e isomorfismos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um isomorfismo entre grupos e como podemos construir uma correspondência entre elementos de C^* e as matrizes dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de grupos. Um isomorfismo é uma função entre dois grupos que é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) e que preserva a operação do grupo. No nosso caso, queremos uma função f: C^* to G, onde G é o subgrupo das matrizes dadas, que seja bijetora e que satisfaça f(z1 cdot z2) = f(z1) cdot f(z2) para todos z1, z2 in C^*.
Passo 3
Agora, vamos definir nossa função f. Considere um número complexo não nulo z = a + bi, onde a e b são números reais. Queremos associar z a uma matriz 2x2 da forma:
a & b - b & a
Então, definimos f(z) = a & b -b & a .
Passo 4
Vamos verificar se f é um homomorfismo, ou seja, se preserva a operação de multiplicação. Tomemos dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di. A multiplicação deles é:
z1 cdot z2 = (a c - b d) + (a d + b c)i
Agora, aplicando a função f:
f(z1) cdot f(z2) = a & b - b & a cdot c & d - d & c = a c - b d & a d + b c - (a d + b c) & a c - b d
Isso corresponde exatamente a f(z1 cdot z2), já que:
f(z1 cdot z2) = a c - b d & a d + b c - (a d + b c) & a c - b d
Portanto, f(z1 cdot z2) = f(z1) cdot f(z2), mostrando que f é um homomorfismo.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que f é bijetora. Primeiro, vamos provar que f é injetora, ou seja, se f(z1) = f(z2), então z1 = z2. Se:
a & b - b & a = c & d - d & c
Então, a = c e b = d, o que implica que z1 = z2.
Em seguida, vamos verificar se f é sobrejetora, ou seja, para toda matriz M no subgrupo, existe um z in C^* tal que f(z) = M. Qualquer matriz no subgrupo tem a forma:
a & b - b & a
que corresponde ao número complexo z = a + bi, que está em C^*, já que z neq 0 (caso contrário, a matriz seria a matriz nula, que não está no subgrupo).
Passo 6
Como f é um homomorfismo bijetora que preserva a operação de multiplicação, concluímos que C^* é isomórfico ao subgrupo das matrizes da forma dada.
Resposta
Portanto, mostramos que C^* é isomórfico ao subgrupo das matrizes 2x2 da forma a & b -b & a .