Quais das seguintes funções são homomorfismos? Se a função for um homomorfismo, qual é o kernel?
phi: GL2(R) R^* definida por
phi((ll a & b c & d ))=a d-b c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se uma certa função é um homomorfismo e, se for, qual é o seu núcleo (kernel). A função em questão é:
phi((ll a & b c & d ))=a d - b c
Aqui, estamos lidando com grupos, especificamente com o grupo geral de matrizes 2x2 invertíveis sobre os números reais, GL2(R), e o grupo dos números reais não nulos, R^*. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de grupos e o que significa o núcleo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. Ou seja, se temos uma função phi: G H, ela é um homomorfismo se, para quaisquer elementos x, y em G, a seguinte condição é satisfeita:
phi(x cdot y) = phi(x) cdot phi(y)
No nosso caso, G é GL2(R) com a operação de multiplicação de matrizes, e H é R^* com a operação de multiplicação dos números reais.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função phi dada é um homomorfismo. A função phi está calculando o determinante da matriz:
phi((ll a & b c & d )) = a d - b c = det(ll a & b c & d )
Sabemos que o determinante tem uma propriedade importante: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Em fórmulas:
det(M cdot N) = det(M) cdot det(N)
Isso significa que:
phi(M cdot N) = det(M cdot N) = det(M) cdot det(N) = phi(M) cdot phi(N)
Portanto, a função phi preserva a operação de multiplicação das matrizes, satisfazendo a condição de homomorfismo.

Passo 4

Como phi é um homomorfismo, agora precisamos encontrar o núcleo (kernel) dessa função. O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do grupo G que são mapeados para o elemento neutro de H.
No caso de R^*, o elemento neutro é 1, porque 1 é o número que, multiplicado por qualquer outro número real não nulo, não muda o valor desse número. Então, o núcleo de phi é:
ker(phi) = M in GL2(R) mid det(M) = 1
Esse conjunto é conhecido como SL2(R), o grupo especial linear de 2x2 matrizes com determinante igual a 1.

Resposta

A função phi é um homomorfismo, e o seu kernel é o conjunto de todas as matrizes 2x2 invertíveis com determinante igual a 1, ou seja, ker(phi) = SL2(R).

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