Quais das seguintes funções são homomorfismos? Se a função for um homomorfismo, qual é o kernel?
definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se uma certa função é um homomorfismo e, se for, qual é o seu núcleo (kernel). A função em questão é:
Aqui, estamos lidando com grupos, especificamente com o grupo geral de matrizes 2x2 invertíveis sobre os números reais,
, e o grupo dos números reais não nulos,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de grupos e o que significa o núcleo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. Ou seja, se temos uma função
, ela é um homomorfismo se, para quaisquer elementos
em
, a seguinte condição é satisfeita:
No nosso caso,
é
com a operação de multiplicação de matrizes, e
é
com a operação de multiplicação dos números reais.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
dada é um homomorfismo. A função
está calculando o determinante da matriz:
Sabemos que o determinante tem uma propriedade importante: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Em fórmulas:
Isso significa que:
Portanto, a função
preserva a operação de multiplicação das matrizes, satisfazendo a condição de homomorfismo.
Passo 4
Como
é um homomorfismo, agora precisamos encontrar o núcleo (kernel) dessa função. O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do grupo
que são mapeados para o elemento neutro de
.
No caso de
, o elemento neutro é
, porque
é o número que, multiplicado por qualquer outro número real não nulo, não muda o valor desse número. Então, o núcleo de
é:
Esse conjunto é conhecido como
, o grupo especial linear de 2x2 matrizes com determinante igual a 1.
Resposta
A função
é um homomorfismo, e o seu kernel é o conjunto de todas as matrizes 2x2 invertíveis com determinante igual a 1, ou seja,
.