Resolva as seguintes inequações:
(x^2-3 x-4)(x^2-8 x+12) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
l(x^2-3x-4r)l(x^2-8x+12r) >= 0
O conteúdo aqui é análise de sinais de fatores polinomiais: vamos achar as raízes de cada fator, montar o quadro de sinais e determinar onde o produto é não‐negativo.

Passo 2

Vamos achar as raízes de cada fator.
Para x^2-3x-4=0 temos
De<a=(-3)^2-4cdot1cdot(-4)=9+16=25,
x=3pm52implies x=-1ou x=4
Para x^2-8x+12=0 temos
De<a=(-8)^2-4cdot1cdot12=64-48=16,
x=8pm42implies x=2ou x=6

Passo 3

Cada quadrática tem coeficiente líder positivo, logo:
  • x^2-3x-4 > 0 em (-infty,-1) cup (4, infty) e < 0 em (-1,4).
  • x^2-8x+12 > 0 em (-infty,2) cup (6, infty) e < 0 em (2,6).

Passo 4

Queremos onde o produto é >=0, ou seja, onde ambos os fatores têm mesmo sinal (positivo times positivo ou negativo times negativo) ou algum fator vale zero.
1. Positivo times positivo:
interseção de (-infty,-1)cup(4,infty) com (-infty,2)cup(6,infty)
(-infty,-1) cup (6,infty).
2. Negativo times negativo:
interseção de (-1,4) com (2,6) (2,4).
3. Zeros (produto igual a zero) ocorrem em x=-1,,4,,2,,6.

Passo 5

Unindo tudo e incluindo os zeros, a solução é
(-infty,-1];cup;[2,4];cup;[6,infty)

Resposta

boxed(-infty,-1]cup[2,4]cup[6,infty)

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