Suponha que u e v são paralelos a um mesmo plano. Pode-se dizer que esses vetores são paralelos?

Passo 1

O enunciado diz que u e v são paralelos a um mesmo plano Pi. O conteúdo aqui é geometria vetorial: precisamos entender o que significa um vetor ser paralelo a um plano e o que significa dois vetores serem paralelos.

Passo 2

Um vetor w é paralelo a um plano Pi se e somente se w for perpendicular ao vetor normal n de Pi; ou seja,
w perp n Long<=ftrightarrow ncdot w = 0
Para que dois vetores u e v sejam paralelos entre si, é necessário e suficiente que exista escalar lambda tal que
v = lambda,u

Passo 3

Como uparal<=l Pi e vparal<=l Pi, ambos satisfazem
ncdot u = 0 e ncdot v = 0
Isso implica que u e v estão no mesmo plano Pi (são coplanares). Entretanto, coplanaridade não implica colinearidade; em um mesmo plano há infinitas direções distintas.

Passo 4

Por exemplo, seja Pi o plano xy com normal n=(0,0,1). Então
u = (1,0,0) e v = (0,1,0)
são ambos perpendiculares a n (logo paralelos a Pi), mas não existe lambda tal que (0,1,0)=lambda,(1,0,0). Logo unotparal<=l v.

Resposta

Não necessariamente: eles são apenas coplanares, mas podem ter direções diferentes dentro desse plano.

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