Prove que \lim _{(x, y) \rightarrow (0,0)} não existe, quando:
f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y),
onde
f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
Em \mathbb{R}^2, se o limite existisse deveria ter o mesmo valor ao longo de qualquer caminho que leve a (0,0). Vamos, então, comparar o comportamento de f ao aproximar de (0,0) por duas “retas” diferentes.

Passo 2

Considere a aproximação ao longo dos eixos coordenados.
Se x=0, então
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{2}}{(0+y^{2})^{3}}=0.
Análogo para y=0:
f(x,0)=0.
Logo, ao longo de qualquer mistura de aproximações em que um dos pontos seja sempre zero, o valor de f tende a 0.

Passo 3

Agora, aproxime-se de (0,0) pela reta y=x. Substituindo y=x em f, temos
f(x,x) =\frac{x^{2}\,x^{2}}{(x^{2}+x^{2})^{3}} =\frac{x^{4}}{(2x^{2})^{3}} =\frac{x^{4}}{8\,x^{6}} =\frac{1}{8\,x^{2}}.
À medida que x\to0,
\frac{1}{8\,x^{2}}\longrightarrow +\infty.

Passo 4

Pelo critério de caminhos distintos, se o limite existisse, o valor obtido por qualquer caminho seria o mesmo. Mas aqui vemos que
— ao longo dos eixos, f\to0,
— ao longo de y=x, f\to+\infty.
Como não há um único valor comum, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}} não existe.

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