Prove que
não existe, quando:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe
onde
Em
, se o limite existisse deveria ter o mesmo valor ao longo de qualquer caminho que leve a
. Vamos, então, comparar o comportamento de
ao aproximar de
por duas “retas” diferentes.
Passo 2
Considere a aproximação ao longo dos eixos coordenados.
Se , então
Se
Análogo para
:
Logo, ao longo de qualquer mistura de aproximações em que um dos pontos seja sempre zero, o valor de
tende a
Passo 3
Agora, aproxime-se de
pela reta
. Substituindo
em
, temos
À medida que
,
Passo 4
Pelo critério de caminhos distintos, se o limite existisse, o valor obtido por qualquer caminho seria o mesmo. Mas aqui vemos que
— ao longo dos eixos, ,
— ao longo de ,
.
Como não há um único valor comum, concluímos que o limite não existe.
— ao longo dos eixos,
— ao longo de
Como não há um único valor comum, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.