Verifique que as funções abaixo são integraveis e calcule a sua integral:
f(x)=x^{2}+x+3 \quad em \quad[1 ; 4]

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função \;f(x)=x^{2}+x+3\;
é integrável em [1,4] e, em seguida, calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{4}f(x)\,dx.
O conteúdo utilizado inclui a integrabilidade de funções contínuas e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Como f(x)=x^{2}+x+3 é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [1,4].
Funções contínuas em intervalo fechado são Riemann-integráveis, logo f é integrável em [1,4].

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{1}^{4}f(x)\,dx
precisamos de uma primitiva F de f. Integramos termo a termo:
F(x)=\int\bigl(x^{2}+x+3\bigr)\,dx =\int x^{2}\,dx+\int x\,dx+\int3\,dx =\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+3x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{4}f(x)\,dx=F(4)-F(1).
Calculamos
F(4)=\frac{4^{3}}{3}+\frac{4^{2}}{2}+3\cdot4 =\frac{64}{3}+8+12 =\frac{64}{3}+20 =\frac{124}{3},
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{2}}{2}+3\cdot1 =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+3 =\frac{2+3+18}{6} =\frac{23}{6}.
Logo,
\int_{1}^{4}f(x)\,dx =\frac{124}{3}-\frac{23}{6} =\frac{248-23}{6} =\frac{225}{6} =\frac{75}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{75}{2}

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