Seja A=\left\{\frac{1}{3^{n}}, n \in \mathbb{N}\right\}. Mostre que \operatorname{Sup}(A)=\frac{1}{3} \mathrm{e} \operatorname{Inf}(A)=0. ( 0,1 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \Bigl\{\frac{1}{3^n}\;\Bigm|\;n\in\mathbb{N}\Bigr\}
e pede para mostrarmos que \sup(A)=\tfrac13 e \inf(A)=0. Vamos usar a definição de supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior).

Passo 2

Mostrando \sup(A)=\tfrac13:
  1. Para todo n\in\mathbb{N}, temos
0<\frac{1}{3^n}\le\frac{1}{3},
pois 3^n\ge3 implica 1/3^n\le1/3. Logo \tfrac13 é um majorante de A.
2. Se tentarmos usar um valor menor que \tfrac13, digamos u<\tfrac13, basta escolher n=1 para ver que
\frac{1}{3^1}=\frac13>u,
logo u não é um majorante.
Portanto \tfrac13 é o menor majorante, i.e.\ \sup(A)=\tfrac13.

Passo 3

Mostrando \inf(A)=0:
  1. Para todo n, \frac{1}{3^n}>0. Assim 0 é um minorante de A.
  2. Se tivermos qualquer v>0, podemos escolher um n suficientemente grande para que
3^n>\frac{1}{v} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3^n}<v.
Isso mostra que nenhum v>0 pode ser minorante de todos os elementos de A.
Logo 0 é o maior minorante, i.e.\ \inf(A)=0.

Resposta

\sup(A)=\tfrac13 \inf(A)=0

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