Prove que
;
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a transformada de Laplace de
é
Informações dadas/úteis que temos no enunciado: a função a transformar é
. Não há outras informações implícitas na figura ou tabela.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (explicada didaticamente): a propriedade que relaciona multiplicação por potências de
no domínio do tempo com derivadas em
no domínio da transformada. A transformada de Laplace é definida por
Se definirmos
, podemos derivar
em relação a
sob o sinal de integral (teorema de diferenciação sob o sinal de integral, aplicável aqui), obtendo
Repetindo esse argumento indutivamente, obtemos a fórmula geral (que vou usar):
onde
. Aqui
é um inteiro não negativo; cada derivada em
traz um fator
dentro da integral.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso: tomar
e
. Então
onde
Agora calculamos
. A transformada de Laplace de
é a integral conhecida (ou pode ser encontrada em tabela):
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a derivada primeira usando a regra do quociente (ou escrevendo como produto e usando produto/chain rule). Faço a regra do quociente:
Passo 5
Agora a segunda derivada. É mais prático escrever
e usar produto + chain rule. Seja
e
. Então
e
. Aplicando produto:
Colocando em denominador comum
:
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 6
Agora a terceira derivada
. Escrevo
. Novamente produto de
e
. Então
e
. Aplicando produto:
Colocando em denominador comum
:
Calculo do numerador em passos:
Somando:
Portanto
Passo 7
Voltando à propriedade do Passo 3:
Substituindo o resultado do Passo 6:
Podemos, se quisermos, fatorar
no numerador para ver a forma mais compacta:
mas a forma pedida no enunciado é exatamente