Prove que
\mathcal{L}\left\{t^{3} \cos (t)\right\}=\frac{6 s^{4}-36 s^{2}+6}{\left(s^{2}+1\right)^{4}};

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a transformada de Laplace de t^{3}\cos(t) é
\mathcal{L}\{t^{3}\cos(t)\}=\frac{6 s^{4}-36 s^{2}+6}{\left(s^{2}+1\right)^{4}}.
Informações dadas/úteis que temos no enunciado: a função a transformar é t^{3}\cos(t). Não há outras informações implícitas na figura ou tabela.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (explicada didaticamente): a propriedade que relaciona multiplicação por potências de t no domínio do tempo com derivadas em s no domínio da transformada. A transformada de Laplace é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Se definirmos F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), podemos derivar F(s) em relação a s sob o sinal de integral (teorema de diferenciação sob o sinal de integral, aplicável aqui), obtendo
\frac{d}{ds}F(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}f(t)\big)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Repetindo esse argumento indutivamente, obtemos a fórmula geral (que vou usar):
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Aqui n é um inteiro não negativo; cada derivada em s traz um fator -t dentro da integral.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: tomar f(t)=\cos(t) e n=3. Então
\mathcal{L}\{t^{3}\cos(t)\}(s)=(-1)^{3}\frac{d^{3}}{ds^{3}}F(s)=-\frac{d^{3}}{ds^{3}}F(s),
onde
F(s)=\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s).
Agora calculamos F(s). A transformada de Laplace de \cos(t) é a integral conhecida (ou pode ser encontrada em tabela):
F(s)=\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de F(s)=\dfrac{s}{s^{2}+1}. Primeiro, a derivada primeira usando a regra do quociente (ou escrevendo como produto e usando produto/chain rule). Faço a regra do quociente:
F'(s)=\frac{(1)(s^{2}+1)-s(2s)}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{s^{2}+1-2s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora a segunda derivada. É mais prático escrever F'(s)=(1-s^{2})(s^{2}+1)^{-2} e usar produto + chain rule. Seja u(s)=1-s^{2} e v(s)=(s^{2}+1)^{-2}. Então u'(s)=-2s e v'(s)=-2(s^{2}+1)^{-3}\cdot 2s=-4s(s^{2}+1)^{-3}. Aplicando produto:
F''(s)=u'v+uv'=-2s(s^{2}+1)^{-2}+(1-s^{2})(-4s)(s^{2}+1)^{-3}.
Colocando em denominador comum (s^{2}+1)^{3}:
F''(s)=\frac{-2s(s^{2}+1)-4s(1-s^{2})}{(s^{2}+1)^{3}}.
Simplificando o numerador:
-2s(s^{2}+1)-4s(1-s^{2})=-2s^{3}-2s-4s+4s^{3}=2s^{3}-6s=2s(s^{2}-3).
Logo
F''(s)=\frac{2s(s^{2}-3)}{(s^{2}+1)^{3}}.

Passo 6

Agora a terceira derivada F^{(3)}(s). Escrevo F''(s)=2s(s^{2}-3)(s^{2}+1)^{-3}. Novamente produto de u(s)=2s(s^{2}-3)=2s^{3}-6s e v(s)=(s^{2}+1)^{-3}. Então u'(s)=6s^{2}-6 e v'(s)=-3(s^{2}+1)^{-4}\cdot 2s=-6s(s^{2}+1)^{-4}. Aplicando produto:
F^{(3)}(s)=u'v+uv'=(6s^{2}-6)(s^{2}+1)^{-3}+(2s^{3}-6s)(-6s)(s^{2}+1)^{-4}.
Colocando em denominador comum (s^{2}+1)^{4}:
F^{(3)}(s)=\frac{(6s^{2}-6)(s^{2}+1)-6s(2s^{3}-6s)}{(s^{2}+1)^{4}}.
Calculo do numerador em passos:
(6s^{2}-6)(s^{2}+1)=6s^{4}-6,
-6s(2s^{3}-6s)=-12s^{4}+36s^{2}.
Somando:
6s^{4}-6-12s^{4}+36s^{2}=-6s^{4}+36s^{2}-6.
Portanto
F^{(3)}(s)=\frac{-6s^{4}+36s^{2}-6}{(s^{2}+1)^{4}}.

Passo 7

Voltando à propriedade do Passo 3:
\mathcal{L}\{t^{3}\cos(t)\}(s)=-F^{(3)}(s).
Substituindo o resultado do Passo 6:
\mathcal{L}\{t^{3}\cos(t)\}(s)=-\frac{-6s^{4}+36s^{2}-6}{(s^{2}+1)^{4}}=\frac{6s^{4}-36s^{2}+6}{(s^{2}+1)^{4}}.
Podemos, se quisermos, fatorar 6 no numerador para ver a forma mais compacta:
\mathcal{L}\{t^{3}\cos(t)\}(s)=\frac{6\bigl(s^{4}-6s^{2}+1\bigr)}{(s^{2}+1)^{4}},
mas a forma pedida no enunciado é exatamente
\frac{6 s^{4}-36 s^{2}+6}{\left(s^{2}+1\right)^{4}}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{3}\cos(t)\}=\frac{6 s^{4}-36 s^{2}+6}{\left(s^{2}+1\right)^{4}}

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