Questão 37. a) Considere a função
f(t)=\left\{\begin{aligned} \frac{\sin t}{t}, & \text { se } t \neq 0 \\\\ 1, & \text { se } t=0 \end{aligned}\right.
Mostre que f:[0,+\infty) \rightarrow R vé contínua e admissível.
b) Usando que
\sin t=t-\frac{t^{3}}{3!}+\frac{t^{5}}{5!}-\frac{t^{7}}{7!}+\ldots
mostre que
\mathcal{L}\left\{\frac{\operatorname{sen} t}{t}\right\}=\operatorname{arctg}(1 / s)
c) Mostre que, se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então \mathcal{L}\{f(a t)\}=\frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right). Use isto para encontrar \mathcal{L}\left\{\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t}\right\}.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido claramente).
Temos a função
f(t)=\left\{\begin{aligned} \frac{\operatorname{sen} t}{t}, & \text{ se } t\neq 0,\\[4pt] 1, & \text{ se } t=0, \end{aligned}\right.
definida em [0,+\infty). Além disso nos dão a série de Taylor
\operatorname{sen} t=t-\frac{t^{3}}{3!}+\frac{t^{5}}{5!}-\frac{t^{7}}{7!}+\ldots.
As perguntas são:
  1. Mostrar que f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} é contínua e admissível (isto é, apropriada para ter transformada de Laplace).
  2. Usando a série dada, mostrar que
\mathcal{L}\!\left\{\frac{\operatorname{sen} t}{t}\right\}(s)=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{1}{s}\right).
  1. Mostrar a propriedade de escala: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} então
\mathcal{L}\{f(a t)\}=\frac{1}{a}\,F\!\left(\frac{s}{a}\right),
e usar isso para encontrar \mathcal{L}\!\left\{\dfrac{\operatorname{sen}(a t)}{t}\right\}.
Listei o que é pedido e as informações importantes; a partir daqui vamos resolver passo a passo.]

Passo 2

Continuidade de f em t>0 (parte simples).
Para t>0 a expressão \dfrac{\operatorname{sen} t}{t} é quociente de duas funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua para todo t>0. Portanto só precisamos verificar continuidade em t=0.

Passo 3

Continuidade em t=0 (passo chave, com explicação didática).
Queremos calcular \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}. Usando a série de Taylor dada,
\operatorname{sen} t = t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} - \cdots,
dividindo por t obtemos
\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1-\frac{t^{2}}{3!}+\frac{t^{4}}{5!}-\cdots.
Ao deixar t\to 0 todos os termos com potências positivas de t vão a zero, portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Como f(0)=1 pelo enunciado, segue que f é contínua em t=0. Conclusão: f é contínua em todo [0,+\infty).
Comentário intuitivo: a série é uma forma bem direta de ver o comportamento próximo de zero; se preferir a prova via limite clássico ou regra de l’Hôpital, também funciona, mas a série já resolve sem esforço.

Passo 4

Definição de “admissível” e prova de que f é admissível (explicação didática).
Para a transformada de Laplace costuma-se exigir que f seja (pelo menos) contínua por partes em [0,\infty) e de ordem exponencial: existam constantes M>0 e c\in\mathbb{R} tais que
|f(t)|\le M e^{c t}\quad\text{para todo } t\ge0.
Já provámos que f é contínua (portanto contínua por partes). Agora mostramos a desigualdade. Usamos a desigualdade clássica para seno:
|\operatorname{sen} t|\le |t|\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Dividindo por |t| (quando t\neq0) obtemos \left|\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}\right|\le 1 para t\neq0. Com f(0)=1 também em t=0 vale |f(0)|=1. Assim
|f(t)|\le 1\quad\text{para todo }t\ge0.
Logo podemos escolher M=1 e c=0, obtendo |f(t)|\le 1\cdot e^{0\cdot t}. Portanto f é de ordem exponencial e, combinando com a continuidade, f é admissível para a transformada de Laplace.
Explicação extra curta: “admissível” aqui só significa que a integral de Laplace converge para s suficientemente grande (na verdade para s>0 como veremos).

Passo 5

Definição da transformada de Laplace que vamos calcular e convergência.
A transformada de Laplace que queremos é
F(s)=\mathcal{L}\!\left\{\frac{\operatorname{sen} t}{t}\right\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt,
com s>0. A convergência dessa integral é garantida pela admissibilidade (a função está limitada por 1 e e^{-s t} torna a integral convergente em [0,\infty) para s>0).

Passo 6

Usando a série de \operatorname{sen} t e integrando termo a termo (justificação e cálculo).
Da série temos, para t real,
\frac{\operatorname{sen} t}{t}= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n+1)!}.
Queremos trocar soma e integral. Para s>0 podemos justificar a troca pelo critério da convergência absoluta: para cada n,
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\frac{t^{2n}}{(2n+1)!}\,dt = \frac{1}{(2n+1)!}\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2n}\,dt,
e a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2n}\,dt
é finita (é a integral de uma função exponencial vezes potência). De fato, fazendo a mudança de variável u=s t obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2n}\,dt = \frac{1}{s^{2n+1}}\int_{0}^{\infty} e^{-u} u^{2n}\,du = \frac{(2n)!}{s^{2n+1}},
onde usamos \int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{m}\,du = m! para inteiro m (fórmula do Gamma para inteiros). Assim cada termo integrado vale
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}(-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n+1)!}\,dt = (-1)^n\frac{(2n)!}{(2n+1)!\,s^{2n+1}} = (-1)^n\frac{1}{2n+1}\frac{1}{s^{2n+1}}.
Como a soma das normas dos termos converge (pelo teste da razão ou comparação com série geométrica para dado s>0), podemos trocar soma e integral e obter
F(s)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{2n+1}\frac{1}{s^{2n+1}}.

Passo 7

Reconhecendo a série como a série de \operatorname{arctg} e conclusão por série.
Factorizando 1/s obtemos
F(s)=\frac{1}{s}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}\left(\frac{1}{s^{2}}\right)^n.
Lembramos a série de Taylor (a série de potências) para a função arco-tangente centrada em 0:
\operatorname{arctg} x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
para |x|\le 1 (e por continuação analítica esta fórmula define \operatorname{arctg} x em todo x, com as observações usuais nos extremos). Escolhendo x=\dfrac{1}{s} obtemos exatamente a soma acima, ou, de forma direta,
F(s)=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{1}{s}\right),
para todo s>0. (Uma maneira alternativa e muito clara de justificar a igualdade para todos s>0 é observar que a função F(s) tem derivada F'(s)=-\dfrac{1}{1+s^{2}} e daí integrar para obter F(s)=\operatorname{arctg}(1/s) — eu usei a série para calcular os coeficientes, e a derivada fornece a verificação global.)
Portanto
\boxed{\mathcal{L}\!\left\{\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}\right\}(s)=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{1}{s}\right),\quad s>0.}

Passo 8

Propriedade de escala da transformada de Laplace (prova direta).
Seja F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt. Então, para a>0,
\mathcal{L}\{f(a t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(a t)\,dt.
Fazendo a mudança de variável u=a t (logo t=u/a e dt=du/a) temos
\mathcal{L}\{f(a t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s (u/a)} f(u)\,\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s/a) u} f(u)\,du=\frac{1}{a}\,F\!\left(\frac{s}{a}\right).
Isso prova a propriedade de escala pedida.

Passo 9

Aplicando a propriedade de escala para encontrar \mathcal{L}\!\left\{\dfrac{\operatorname{sen}(a t)}{t}\right\}.
Defina a função base g(t)=\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}, cujo transformada já encontramos G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{1}{s}\right). Note que
\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t} = a\cdot g(a t),
pois g(a t)=\dfrac{\operatorname{sen}(a t)}{a t}. Então
\mathcal{L}\!\left\{\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t}\right\}(s) = a\,\mathcal{L}\{g(a t)\}(s).
Usando a propriedade de escala com f=g obtemos
\mathcal{L}\{g(a t)\}(s)=\frac{1}{a}\,G\!\left(\frac{s}{a}\right).
Multiplicando por a cancela o 1/a, resultando
\mathcal{L}\!\left\{\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t}\right\}(s)=G\!\left(\frac{s}{a}\right)=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{1}{s/a}\right)=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{a}{s}\right).
Assim temos a resposta pedida para a parte (c).

Resposta

(a) f é contínua em [0,\infty) e admissível, pois \left|\dfrac{\operatorname{sen}t}{t}\right|\le 1 e f(0)=1.\n
(b) \displaystyle \mathcal{L}\!\left\{\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}\right\}(s)=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{1}{s}\right),\; s>0.\n
(c) \displaystyle \mathcal{L}\{f(a t)\}(s)=\frac{1}{a}F\!\left(\frac{s}{a}\right) e, em particular, \displaystyle \mathcal{L}\!\left\{\dfrac{\operatorname{sen}(a t)}{t}\right\}(s)=\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{a}{s}\right).

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