Questão 52. Mostre que
\int_{0}^{\infty} t e^{-3 t} \operatorname{sen} t d t=\frac{3}{50}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos o valor da integral imprópria
\int_{0}^{\infty} t e^{-3 t} \operatorname{sen} t\, dt.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{limites: }0\text{ a }+\infty; \qquad\text{integrando: }t e^{-3t}\operatorname{sen}t.
Queremos calcular esse número explícito e apresentar o resultado final.

Passo 2

Estratégia útil (apenas explicitada agora): introduzimos a função parâtrica
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\operatorname{sen}t\,dt,
para s>0. Note que, se conseguirmos I(s) em forma fechada, então podemos obter a integral pedida usando a derivada em s, porque
\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-s t}\operatorname{sen}t\bigr)=-t e^{-s t}\operatorname{sen}t,
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\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\operatorname{sen}t\,dt=-\frac{d}{ds}I(s).
No final colocaremos s=3. Antes de derivar, precisamos achar I(s).

Passo 3

Vamos calcular I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\operatorname{sen}t\,dt por partes (duas vezes). Lembre que a fórmula de integração por partes para integrais impróprias é a mesma da finita, desde que os termos de contorno existam. Use u=\operatorname{sen}t e dv=e^{-s t}dt. Então du=\operatorname{cos}t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Aplicando:
I(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\operatorname{sen}t\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\operatorname{cos}t\,dt.
Como s>0, o termo \displaystyle e^{-s t}\operatorname{sen}t tende a 0 quando t\to\infty; no t=0 temos \operatorname{sen}0=0. Portanto o termo de contorno é 0 e ficamos com
I(s)=\frac{1}{s}J(s),
onde definimos
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\operatorname{cos}t\,dt.

Passo 4

Agora calculamos J(s) por partes também. Tome u=\operatorname{cos}t, dv=e^{-s t}dt. Então du=-\operatorname{sen}t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Assim
J(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\operatorname{cos}t\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\operatorname{sen}t\,dt.
O termo de contorno vale, novamente, 0-(-\tfrac{1}{s}\cdot 1)=\tfrac{1}{s} (pois \operatorname{cos}0=1 e o infinito anula o exponencial). Portanto
J(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}I(s).

Passo 5

Substituímos J(s) em I(s)=\dfrac{1}{s}J(s). Assim
I(s)=\frac{1}{s}\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s}I(s)\right).
Multiplicando por s e reorganizando:
I(s)=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s^{2}}I(s) \quad\Longrightarrow\quad I(s)\left(1-\frac{1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
I(s)=\frac{1}{s^{2}-1}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}+1}.
(Observação didática: ao resolver a equação linear para I(s) chegamos à forma simples I(s)=1/(s^{2}+1).)

Passo 6

Agora usamos a relação entre I(s) e a integral com fator t. Como discutido,
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\operatorname{sen}t\,dt=-\frac{d}{ds}I(s).
Justificativa breve para trocar derivada e integral: para s>0 o integrando e suas derivadas em s são dominadas por funções exponenciais decrescentes (por exemplo t e^{-s t}), o que garante que podemos derivar sob o sinal de integral (teorema de diferenciação sob o sinal de integral / convergência dominada). Então calculamos a derivada de I(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}:
I'(s)=\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
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\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\operatorname{sen}t\,dt=-I'(s)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 7

Finalmente substituímos s=3 para obter a integral pedida:
\int_{0}^{\infty} t e^{-3 t}\operatorname{sen}t\,dt=\frac{2\cdot 3}{(3^{2}+1)^{2}}=\frac{6}{(9+1)^{2}}=\frac{6}{100}=\frac{3}{50}.

Resposta

\dfrac{3}{50}

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