Questão 52. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede que mostremos o valor da integral imprópria
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Queremos calcular esse número explícito e apresentar o resultado final.
Passo 2
Estratégia útil (apenas explicitada agora): introduzimos a função parâtrica
para
. Note que, se conseguirmos
em forma fechada, então podemos obter a integral pedida usando a derivada em
, porque
logo
No final colocaremos
. Antes de derivar, precisamos achar
.
Passo 3
Vamos calcular
por partes (duas vezes). Lembre que a fórmula de integração por partes para integrais impróprias é a mesma da finita, desde que os termos de contorno existam. Use
e
. Então
e
. Aplicando:
Como
, o termo
tende a
quando
; no
temos
. Portanto o termo de contorno é
e ficamos com
onde definimos
Passo 4
Agora calculamos
por partes também. Tome
,
. Então
e
. Assim
O termo de contorno vale, novamente,
(pois
e o infinito anula o exponencial). Portanto
Passo 5
Substituímos
em
. Assim
Multiplicando por
e reorganizando:
Portanto
(Observação didática: ao resolver a equação linear para
chegamos à forma simples
.)
Passo 6
Agora usamos a relação entre
e a integral com fator
. Como discutido,
Justificativa breve para trocar derivada e integral: para
o integrando e suas derivadas em
são dominadas por funções exponenciais decrescentes (por exemplo
), o que garante que podemos derivar sob o sinal de integral (teorema de diferenciação sob o sinal de integral / convergência dominada). Então calculamos a derivada de
:
Logo
Passo 7
Finalmente substituímos
para obter a integral pedida: