Prove que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
é um subespaço de
, onde
é o espaço vetorial de todas as matrizes reais
. Aqui,
cada linha de
soma zero, cada coluna soma zero e as duas diagonais somam zero}.
Para mostrar que é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
Para mostrar que é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
-
. - Se
, então . - Se
e , então .
Passo 2
Matriz nula
tem todas as entradas iguais a zero, logo em cada linha, coluna e diagonal
Portanto
e
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Seja
e
em
. Para cada linha
de
vale
Como
e
tinham todas as colunas e as duas diagonais somando zero, o mesmo cálculo mostra que cada coluna e cada diagonal de
soma zero. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Para cada linha
de
temos
Novamente, idêntico raciocínio vale para colunas e diagonais, mostrando
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.