Prove que \mathrm{Mag}_{3}^{0} é um subespaço de M_{33}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que \mathrm{Mag}_{3}^{0} é um subespaço de M_{33}, onde M_{33} é o espaço vetorial de todas as matrizes reais 3\times3. Aqui, \mathrm{Mag}_{3}^{0}=\{A=(a_{ij})\in M_{33}\mid cada linha de A soma zero, cada coluna soma zero e as duas diagonais somam zero}.
Para mostrar que é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
  1. \mathrm{Mag}_{3}^{0}\neq\emptyset.
  2. Se A,B\in\mathrm{Mag}_{3}^{0}, então A+B\in\mathrm{Mag}_{3}^{0}.
  3. Se \lambda\in\mathbb R e A\in\mathrm{Mag}_{3}^{0}, então \lambda A\in\mathrm{Mag}_{3}^{0}.

Passo 2

Matriz nula \mathbf{0}\in M_{33} tem todas as entradas iguais a zero, logo em cada linha, coluna e diagonal
0+0+0 = 0.
Portanto \mathbf{0}\in\mathrm{Mag}_{3}^{0} e \mathrm{Mag}_{3}^{0}\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em \mathrm{Mag}_{3}^{0}. Para cada linha i de A+B vale
\sum_{j=1}^3 (a_{ij}+b_{ij}) =\sum_{j=1}^3 a_{ij} \;+\;\sum_{j=1}^3 b_{ij} =0+0 =0.
Como A e B tinham todas as colunas e as duas diagonais somando zero, o mesmo cálculo mostra que cada coluna e cada diagonal de A+B soma zero. Logo A+B\in\mathrm{Mag}_{3}^{0}.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb R e A=(a_{ij})\in\mathrm{Mag}_{3}^{0}. Para cada linha i de \lambda A temos
\sum_{j=1}^3 (\lambda\,a_{ij}) =\lambda\sum_{j=1}^3 a_{ij} =\lambda\cdot 0 =0.
Novamente, idêntico raciocínio vale para colunas e diagonais, mostrando \lambda A\in\mathrm{Mag}_{3}^{0}.

Resposta

Como \mathrm{Mag}_{3}^{0} contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que \mathrm{Mag}_{3}^{0} é de fato um subespaço de M_{33}.

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