Prove que se
, então existe um inteiro
tal que
. Além disso, prove que quaisquer dois
que satisfazem essa propriedade são iguais
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar duas coisas (em Teoria dos Números):
- Se
, então existe inteiro tal que
Isto significa que
tem inverso multiplicativo módulo
.
2) Sejam e
duas soluções de
. Provar que
, ou seja, a inversa é única módulo
.
2) Sejam
Conteúdo necessário:
- Definição de
e coprimalidade. - Algoritmo de Euclides estendido e identidade de Bézout.
- Noções de congruência modular.
Passo 2
(Existência do inverso)
Como , pela identidade de Bézout existe uma combinação linear
Como
para alguns inteiros
e
. Essa identidade vem diretamente do algoritmo de Euclides estendido, que nos dá justamente esses coeficientes
.
Agora, basta olhar essa igualdade módulo
. Ele diz
Mas
, então sobra
Logo,
é um inverso de
módulo
. Isso prova a existência de algum
com
.
Passo 3
(Unicidade módulo
)
Suponha que e
sejam dois inteiros tais que
Suponha que
Subtraindo as duas congruências, temos
Isto significa que
divide
. Mas como
, um teorema básico diz que, se um número primo a
divide um produto, ele já divide o outro fator. No caso geral de
, concluímos que
divide
. Em símbolos:
Isso prova que qualquer outra solução
só difere de
por múltiplo de
.
Resposta
- Pela identidade de Bézout (Euclides estendido) obtemos inteiros
tais que . Assim satisfaz . - Se
e são duas inversas, então . Como , segue . Portanto o inverso é único módulo .