Prove que se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
então
Conteúdo: congruência modular e máximo divisor comum (mdc).
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Definição de congruência:
. - Definição de mdc: é o maior inteiro que divide simultaneamente
e . - Propriedade básica de divisores: se
e , então .
Passo 2
Já que
, temos
. Logo existe um inteiro
tal que
Agora, seja
1.
2. Então, pela propriedade de divisores,
3. Mas
Isso mostra: todo divisor comum de
Passo 3
O raciocínio inverso é igualzinho. Partimos de
e tomamos
1.
2. Pela mesma propriedade,
Logo todo divisor comum de
Passo 4
Temos as duas desigualdades
Quando dois números satisfazem isso, eles são iguais.