Prove que para qualquer inteiro
, o digito das unidades de
é
, 6, ou 9.
Passo 1
Então, a questão pede pra mostrar que, para qualquer inteiro
, o dígito das unidades de
só pode ser um dentre os números 0, 4, 5, 6 ou 9.
Conteúdo: aritmética modular (em especial, resto da divisão por 10).
O que vamos precisar:
Conteúdo: aritmética modular (em especial, resto da divisão por 10).
O que vamos precisar:
- Entender que “dígito das unidades” de
é simplesmente . - Listar todos os possíveis restos de
ao dividir por 10 (isto é, 0,1,2,…,9). - Elevar cada um ao quadrado e ver quais restos sobram mod 10.
Passo 2
Primeiro, lembra que todo inteiro
dá resto entre 0 e 9 quando dividido por 10. Em linguagem de congruências:
Isso significa que, para estudar o dígito das unidades de
, basta olhar para
.
Passo 3
Agora vamos calcular
para cada
.
-
: , resto 0. -
: , resto 1. -
: , resto 4. -
: , resto 9. -
: , resto 6. -
: , resto 5. -
: , resto 6. -
: , resto 9. -
: , resto 4. -
: , resto 1.
Repare que algumas vezes aparecem valores repetidos: 1,4,9,6,5,0.
Passo 4
Juntando tudo, os restos possíveis de
quando dividimos por 10 são
Logo, o dígito das unidades de
só pode ser um desses.
Resposta
Os possíveis dígitos das unidades de
são exatamente 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.