Prove que para qualquer inteiro a, o digito das unidades de a^2 é 0,4,5, 6, ou 9.

Passo 1

Então, a questão pede pra mostrar que, para qualquer inteiro , o dígito das unidades de só pode ser um dentre os números 0, 4, 5, 6 ou 9.
Conteúdo: aritmética modular (em especial, resto da divisão por 10).
O que vamos precisar:
  1. Entender que “dígito das unidades” de é simplesmente .
  2. Listar todos os possíveis restos de ao dividir por 10 (isto é, 0,1,2,…,9).
  3. Elevar cada um ao quadrado e ver quais restos sobram mod 10.

Passo 2

Primeiro, lembra que todo inteiro a equiv r pmod10, rin0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 dá resto entre 0 e 9 quando dividido por 10. Em linguagem de congruências:
Isso significa que, para estudar o dígito das unidades de , basta olhar para .

Passo 3

Agora vamos calcular para cada .
  1. : , resto 0.
  2. : , resto 1.
  3. : , resto 4.
  4. : , resto 9.
  5. : , resto 6.
  6. : , resto 5.
  7. : , resto 6.
  8. : , resto 9.
  9. : , resto 4.
  10. : , resto 1.
Repare que algumas vezes aparecem valores repetidos: 1,4,9,6,5,0.

Passo 4

Juntando tudo, os restos possíveis de 0,,1,,4,,5,,6,,9 quando dividimos por 10 são
Logo, o dígito das unidades de só pode ser um desses.

Resposta

Os possíveis dígitos das unidades de são exatamente 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

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