Prove que a média harmônica de n números positivos
x1, x2, ldots, xn
é sempre menor que ou igual a sua média geométrica e só é igual quando todos os números são iguais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas n variáveis positivas
x1,x2,dots,xn>0,
a média harmônica
H = nsumi=1^n1xi
é sempre menor ou igual à média geométrica
G = l(x1x2cdots xnr)^!1/n
e que a igualdade H=G ocorre somente quando todos os xi são iguais. Para isso, vamos usar o conteúdo do Desigualdade da Média Aritmético–Geométrica (AM–GM).

Passo 2

Definamos as variáveis
yi = 1xi, i=1,2,dots,n
Como cada xi>0, também yi>0. Aplicando a desigualdade AM–GM ao conjunto y1,dots,yn, temos
l(y1y2cdots ynr)^!1/n ;<=; 1nsumi=1^nyi

Passo 3

Observe que
l(y1y2cdots ynr)^!1/n =l(tfrac1x1cdot1x2cdots1xnr)^!1/n =1l(x1x2cdots xnr)^!1/n =1G,
e
1nsumi=1^nyi =1nsumi=1^n1xi =1H
Portanto, a AM–GM em yi vira
1G;<=;1H Longrightarrow H ;<=; G
Quanto à igualdade, sabemos que na AM–GM ocorre igualdade se, e somente se, y1=y2=cdots=yn. Mas yi=1/xi, logo todos os xi devem ser iguais.

Resposta

H = nsumi=1^n1xi ;<=; l(x1x2cdots xnr)^!1/n = G,
com igualdade somente se x1=x2=cdots=xn.

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