Prove que a média harmônica de n números positivos
é sempre menor que ou igual a sua média geométrica e só é igual quando todos os números são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas
variáveis positivas
a média harmônica
é sempre menor ou igual à média geométrica
e que a igualdade
ocorre somente quando todos os
são iguais. Para isso, vamos usar o conteúdo do Desigualdade da Média Aritmético–Geométrica (AM–GM).
Passo 2
Definamos as variáveis
Como cada
, também
. Aplicando a desigualdade AM–GM ao conjunto
, temos
Passo 3
Observe que
e
Portanto, a AM–GM em
vira
Quanto à igualdade, sabemos que na AM–GM ocorre igualdade se, e somente se,
. Mas
, logo todos os
devem ser iguais.
Resposta
com igualdade somente se
.