Prove que, se x é positivo, então x+1x >= 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se x>0, então
x + 1x >= 2
O conteúdo principal é uma desigualdade clássica que se resolve usando o fato de que o quadrado de qualquer número real é não-negativo.

Passo 2

Para explorar isso, definimos
y = raizx ;-;1raizx
Sabemos que, para todo yinR,
y^2 >= 0

Passo 3

Agora expandimos y^2:
y^2 = l(raizx - tfrac1raizxr)^2 = x - 2 + 1x
Como y^2>=0, segue que
x - 2 + 1x >= 0 Longrightarrow x + 1x >= 2

Passo 4

A igualdade ocorre exatamente quando y=0, ou seja,
raizx = 1raizx Longrightarrow x=1

Resposta

Para todo x>0 vale
x + 1x >= 2,
com igualdade se, e somente se, x=1.

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