Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado diz que
e que
e pede o conjunto de valores possíveis de
O conteúdo principal é trabalhar com desigualdades simétricas entre soma e soma de produtos.
Passo 2
Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou a identidade clássica) para ligar
e
:
logo
Assim temos a desigualdade inferior
Passo 3
Mostramos que o mínimo
é atingido. Se tomamos
, então
e
Passo 4
Para ver que não há limite superior, basta mostrar que, dado qualquer
, existem
com
e
(que está no intervalo permitido).
Escolhemos e
. A condição
vira
Escolhemos
que é uma equação quadrática em
com coeficiente discriminante positivo sempre que
. Assim podemos achar
e
, e então
Fazendo
, obtemos somas arbitrariamente grandes.
Passo 5
Concluímos que o menor valor de
é
(atingido em
) e não há limite superior. Portanto