Se x, y e z são números positivos tais que 1 <= x y+y z+z x <= 3, qual é o conjunto de valores de x+y+z?

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z>0 e que
1 <= xy+yz+zx <= 3,
e pede o conjunto de valores possíveis de
p = x+y+z
O conteúdo principal é trabalhar com desigualdades simétricas entre soma e soma de produtos.

Passo 2

Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou a identidade clássica) para ligar p e q=xy+yz+zx:
(x+y+z)^2 >= 3,(xy+yz+zx)
logo
p = x+y+z >= raiz3,(xy+yz+zx) >= raiz3cdot 1 = raiz3
Assim temos a desigualdade inferior
p >= raiz3

Passo 3

Mostramos que o mínimo p=raiz3 é atingido. Se tomamos x=y=z, então
xy+yz+zx = 3x^2 = 1 Longrightarrow x = 1raiz3
e
p = x+y+z = 3,1raiz3 = raiz3

Passo 4

Para ver que não há limite superior, basta mostrar que, dado qualquer P>raiz3, existem x,y,z>0 com x+y+z=P e xy+yz+zx=1 (que está no intervalo permitido).
Escolhemos y=z=t e x=P-2t. A condição xy+yz+zx=1 vira
(P-2t),2t + t^2 = 1,
que é uma equação quadrática em t com coeficiente discriminante positivo sempre que P>=raiz3. Assim podemos achar t>0 e x>0, e então
x+y+z = P
Fazendo Pto+infty, obtemos somas arbitrariamente grandes.

Passo 5

Concluímos que o menor valor de p é raiz3 (atingido em x=y=z=1/raiz3) e não há limite superior. Portanto

Resposta

[raiz3,+infty)

Exercícios relacionados