Use as equações de Cauchy-Riemann juntamente com o Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 para mostrar que f^prime(z) e sua derivada f^prime prime(z) existem em todos os pontos, e ache f^prime(z) e f^prime prime(z) utilizando uma das igualdades f^prime(z)= partial upartial x+partial vpartial x i=partial vpartial y-partial upartial y i, ou uma das igualdades de sua versão polar f^prime(z)=(partial upartial r+i partial vpartial r) e^-i theta=(partial vpartial theta-i partial upartial theta) e^-i thetar, r neq 0, quando: f(z)=z^4

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de funções complexas onde a gente precisa usar as Equações de Cauchy-Riemann junto com um corolário específico para mostrar que a derivada da função f(z) e a segunda derivada existem em todos os pontos. Depois, a gente vai calcular essas derivadas para a função f(z) = z^4. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções complexas e as Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Elas são condições que uma função diferenciável de variável complexa deve satisfazer. Se a gente escreve f(z) como f(z) = u(x, y) + i v(x, y), onde u e v são funções reais de x e y, então as Equações de Cauchy-Riemann são:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Essas equações garantem que a função é diferenciável no sentido complexo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas equações na nossa função f(z) = z^4. Primeiro, vamos expressar z em termos de x e y, onde z = x + i y. Então:
f(z) = (x + i y)^4
Vamos expandir isso usando o binômio de Newton:
f(z) = x^4 + 4x^3 (i y) + 6x^2 (i y)^2 + 4x (i y)^3 + (i y)^4
Simplificando os termos:
f(z) = x^4 + 4i x^3 y - 6x^2 y^2 - 4i x y^3 + y^4
Agora, podemos separar as partes real e imaginária:
u(x, y) = x^4 - 6x^2 y^2 + y^4
v(x, y) = 4x^3 y - 4x y^3

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as Equações de Cauchy-Riemann.
Primeiro, as derivadas de u:
partial upartial x = 4x^3 - 12x y^2
partial upartial y = -12x^2 y + 4y^3
Depois, as derivadas de v:
partial vpartial x = 12x^2 y - 4y^3
partial vpartial y = 4x^3 - 12x y^2

Passo 5

Agora, vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = 4x^3 - 12x y^2
partial vpartial y = 4x^3 - 12x y^2
Então, partial upartial x = partial vpartial y.
E:
partial upartial y = -12x^2 y + 4y^3
partial vpartial x = 12x^2 y - 4y^3
Então, partial upartial y = -partial vpartial x.
Como ambas as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, podemos afirmar que f(z) é diferenciável em todos os pontos no plano complexo.

Passo 6

Agora que sabemos que f(z) é diferenciável, podemos encontrar a derivada f'(z) usando uma das igualdades fornecidas. Vamos usar:
f^prime(z) = partial upartial x + i partial vpartial x
Substituindo as derivadas que calculamos:
f^prime(z) = (4x^3 - 12x y^2) + i (12x^2 y - 4y^3)
Mas, percebemos que f(z) = z^4, então a derivada pode ser calculada de forma mais simples usando as regras de derivação de funções complexas:
f^prime(z) = 4z^3

Passo 7

Para encontrar a segunda derivada f''(z), derivamos novamente f'(z):
f''(z) = ddz [4z^3] = 12z^2

Resposta

A derivada de f(z) é f^prime(z) = 4z^3 e a segunda derivada é f^prime prime(z) = 12z^2.

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