Use as equações de Cauchy-Riemann juntamente com o Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 para mostrar que
e sua derivada
existem em todos os pontos, e ache
e
utilizando uma das igualdades
, ou uma das igualdades de sua versão polar
, quando:
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de funções complexas onde a gente precisa usar as Equações de Cauchy-Riemann junto com um corolário específico para mostrar que a derivada da função
e a segunda derivada existem em todos os pontos. Depois, a gente vai calcular essas derivadas para a função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções complexas e as Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Elas são condições que uma função diferenciável de variável complexa deve satisfazer. Se a gente escreve
como
, onde
e
são funções reais de
e
, então as Equações de Cauchy-Riemann são:
Essas equações garantem que a função é diferenciável no sentido complexo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas equações na nossa função
. Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
, onde
. Então:
Vamos expandir isso usando o binômio de Newton:
Simplificando os termos:
Agora, podemos separar as partes real e imaginária:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as Equações de Cauchy-Riemann.
Primeiro, as derivadas de
:
Depois, as derivadas de
:
Passo 5
Agora, vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann:
Então,
.
E:
Então,
.
Como ambas as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, podemos afirmar que
é diferenciável em todos os pontos no plano complexo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é diferenciável, podemos encontrar a derivada
usando uma das igualdades fornecidas. Vamos usar:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Mas, percebemos que
, então a derivada pode ser calculada de forma mais simples usando as regras de derivação de funções complexas:
Passo 7
Para encontrar a segunda derivada
, derivamos novamente
:
Resposta
A derivada de
é
e a segunda derivada é
.