Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto z = x + y i: q(z) = e^(x) * (cos(y) - i * sen(y)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar, usando as equações de Cauchy-Riemann, que a função não tem derivada em nenhum ponto . Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especificamente sobre derivadas de funções de variáveis complexas. Precisaremos entender as equações de Cauchy-Riemann e como aplicá-las para verificar se a função é diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função na forma , onde e são as partes real e imaginária da função, respectivamente.
Dada:
Então:

Passo 3

As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável em , as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Vamos calcular essas derivadas parciais para e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos verificar as equações de Cauchy-Riemann com as derivadas que calculamos:
  1. Verificando se .
  2. Verificando se .

Passo 6

Analisando as igualdades:
  1. implica que . Como nunca é zero, isso só acontece se .
  2. implica que . Novamente, nunca é zero, então isso só ocorre se .

Passo 7

Para ambas as equações serem verdadeiras simultaneamente, precisamos que e ao mesmo tempo. Porém, isso é impossível, já que não existe que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Como não existem pontos que satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann, concluímos que a função não possui derivada em nenhum ponto do plano complexo.

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