Prove, por meio das equações de Cauchy-Riemann, que as seguintes funções não possuem derivada em nenhum ponto
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar, usando as equações de Cauchy-Riemann, que a função
não tem derivada em nenhum ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especificamente sobre derivadas de funções de variáveis complexas. Precisaremos entender as equações de Cauchy-Riemann e como aplicá-las para verificar se a função é diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
na forma
, onde
e
são as partes real e imaginária da função, respectivamente.
Dada:
Então:
Passo 3
As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável em
, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Vamos calcular essas derivadas parciais para
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos verificar as equações de Cauchy-Riemann com as derivadas que calculamos:
-
Verificando se
. -
Verificando se
.
Passo 6
Analisando as igualdades:
-
implica que . Como nunca é zero, isso só acontece se . -
implica que . Novamente, nunca é zero, então isso só ocorre se .
Passo 7
Para ambas as equações serem verdadeiras simultaneamente, precisamos que
e
ao mesmo tempo. Porém, isso é impossível, já que não existe
que satisfaça ambas as equações simultaneamente.
Resposta
Como não existem pontos
que satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann, concluímos que a função
não possui derivada em nenhum ponto do plano complexo.