Prove o Método de Tuncamento de Markov: Considere X uma variável aleatória, com média finita. Considere o nível de truncamento. Defina
Então pontualmente, e M infty
lfloorXrceil^M pontualmente quando ,
A variável possui todos os momentos finitos.
Passo 1
O enunciado pede para provar três propriedades do truncamento de Markov de uma variável aleatória X de média finita: (i) as desigualdades pontuais l|lfloor Xrceil^Mr|<= M e l|lfloor Xrceil^Mr|<=|X|, (ii) a convergência pontual lfloor Xrceil^Mto X quando Mtoinfty, e (iii) que lfloor Xrceil^M tem todos os momentos finitos. Vamos usar ideias básicas de definição de função indicadora e dominância.
Passo 2
Pela definição lfloor Xrceil^M=X,1|X|<= M, temos pontualmente: se |X|<= M então lfloor Xrceil^M=X e, se |X|>M então lfloor Xrceil^M=0. Logo
l|lfloor Xrceil^Mr|;=;|X|,1|X|<= M;<=;M,1|X|<= M;<=;M,
e também l|lfloor Xrceil^Mr|;=;|X|,1|X|<= M;<=;|X|
Passo 3
Para a convergência pontual, fixe omega. Se |X(omega)|, ao escolher M>|X(omega)| suficientemente grande, teremos lfloor X(omega)rceil^M=X(omega). Assim, à medida que Mtoinfty, lfloor Xrceil^M(omega)to X(omega) para todo omega.
Passo 4
Finalmente, para qualquer momento de ordem k>=1, usamos a dominância |lfloor Xrceil^M|^k<= M^k quase certo. Como M^k é constante, segue
El[|lfloor Xrceil^M|^kr];<=;M^k;<;infty
Passo 5
Portanto, lfloor Xrceil^M tem todos os momentos finitos.
Resposta
Concluímos que, para todo M>1, a truncação de Markov satisfaz pontualmente |lfloor Xrceil^M|<= M e |lfloor Xrceil^M|<=|X|, converge pontualmente para X quando Mtoinfty, e possui todos os momentos finitos, pois para cada k vale E[|lfloor Xrceil^M|^k]<= M^k.