Prove, de um modo geral, que
\begin{aligned} \cos n \theta & =\cos ^{n} \theta-\frac{n(n-1)}{2} \cos ^{n-2} \theta \operatorname{sen}^{2} \theta+\ldots \\\ & =P(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta), \\\ \operatorname{sen} n \theta & =n \cos ^{n-1} \theta \operatorname{sen} \theta-\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cos ^{n-3} \operatorname{sen}^{3} \theta+\ldots \\\ & =Q(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta), \end{aligned}
onde P e Q são polinỏmios convenientes, homogêneos e de grau n nas duas variáveis \cos \theta e \operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O enunciado pede para provar, de modo geral (isto é, para n inteiro positivo qualquer), que existem polinômios P e Q em duas variáveis \cos\theta e \operatorname{sen}\theta tais que
\cos n\theta = P(\cos\theta,\operatorname{sen}\theta), \qquad \operatorname{sen} n\theta = Q(\cos\theta,\operatorname{sen}\theta),
onde P e Q são polinômios homogêneos de grau n. O enunciado também mostra os primeiros termos dessas expansões:
\cos n\theta = \cos^{n}\theta - \frac{n(n-1)}{2}\cos^{n-2}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta + \ldots
\operatorname{sen} n\theta = n\cos^{n-1}\theta\,\operatorname{sen}\theta - \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\cos^{n-3}\theta\,\operatorname{sen}^{3}\theta + \ldots
O que tenho de provar: (i) que tais expressões valem para todo n\in\mathbb{N}; (ii) dar uma fórmula geral para os coeficientes; (iii) mostrar que cada termo é monômio de grau n (homogeneidade).

Passo 2

Ferramenta-chave: considere o número complexo
z=\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta.
Recordar a identidade (fácil de aceitar ou derivar via a fórmula de Euler)
z^n = (\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^n = \cos n\theta + i\,\operatorname{sen} n\theta.
Esta identidade é conhecida como fórmula de De Moivre; ela diz que ao elevar \cos\theta+i\operatorname{sen}\theta à potência n obtém-se exatamente \cos n\theta + i\operatorname{sen} n\theta. Vou usar-a para obter as expansões pedidas.

Passo 3

Aplicar o Teorema binomial ao produto (\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^n. O teorema binomial diz que, para inteiro n\ge0,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Tomando a=\cos\theta e b=i\,\operatorname{sen}\theta obtemos
(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos^{\,n-k}\theta\,(i\,\operatorname{sen}\theta)^{k}.
Isto pode ser escrito como
(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} i^{k}\cos^{\,n-k}\theta\,\operatorname{sen}^{k}\theta.

Passo 4

Separar parte real e imaginária da soma acima. Para isso use que as potências de i têm ciclo:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,\\ \text{etc.}
Logo, quando k é par, k=2m, tem-se i^{2m}=(-1)^{m} (real); quando k é ímpar, k=2m+1, tem-se i^{2m+1}=(-1)^{m}i (imaginário). Portanto a soma quebra-se em duas somas:
parte real (resulta em \cos n\theta):
\cos n\theta = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2m} i^{2m}\cos^{\,n-2m}\theta\,\operatorname{sen}^{2m}\theta = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^{m}\binom{n}{2m}\cos^{\,n-2m}\theta\,\operatorname{sen}^{2m}\theta.

Passo 5

Parte imaginária (resulta em \operatorname{sen} n\theta): aplicar o mesmo raciocínio aos k ímpares:
\operatorname{sen} n\theta = \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} \binom{n}{2m+1} i^{2m+1}\cos^{\,n-(2m+1)}\theta\,\operatorname{sen}^{2m+1}\theta = \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1)^{m}\binom{n}{2m+1}\cos^{\,n-(2m+1)}\theta\,\operatorname{sen}^{2m+1}\theta.

Passo 6

Escrever as fórmulas finais de forma limpa (estas são as expressões gerais procuradas):
\cos n\theta = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^{m}\binom{n}{2m}\cos^{\,n-2m}\theta\,\operatorname{sen}^{2m}\theta,
\operatorname{sen} n\theta = \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1)^{m}\binom{n}{2m+1}\cos^{\,n-(2m+1)}\theta\,\operatorname{sen}^{2m+1}\theta.
Verificação rápida dos primeiros termos: para \cos n\theta, o termo m=0 é \cos^{n}\theta; o termo m=1 é -\binom{n}{2}\cos^{n-2}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta e \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}, que coincide com o enunciado. Para \operatorname{sen} n\theta, o termo m=0 é \binom{n}{1}\cos^{n-1}\theta\,\operatorname{sen}\theta = n\cos^{n-1}\theta\,\operatorname{sen}\theta; o m=1 -\binom{n}{3}\cos^{n-3}\theta\,\operatorname{sen}^{3}\theta com \binom{n}{3}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}, também coincidindo.

Passo 7

Mostrar a homogeneidade: cada monômio no somatório tem a forma constante \times \cos^{\,n-k}\theta\,\operatorname{sen}^{k}\theta com (n-k)+k=n. Assim todos os termos têm grau total n nas variáveis \cos\theta e \operatorname{sen}\theta. Os coeficientes são números (inteiros combinatórios) e os sinais alternam segundo (-1)^{m}. Portanto P e Q existem e são exatamente os polinômios dados pelas somas acima; são homogêneos de grau n.

Resposta

\cos n\theta = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^{m}\binom{n}{2m}\cos^{\,n-2m}\theta\,\operatorname{sen}^{2m}\theta,

[
\operatorname{sen} n\theta

\sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1){m}\binom{n}{2m+1}\cos{,n-(2m+1)}\theta,\operatorname{sen}^{2m+1}\theta.]

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