Prove, de um modo geral, que
onde
e
são polinỏmios convenientes, homogêneos e de grau
nas duas variáveis
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, de modo geral (isto é, para
inteiro positivo qualquer), que existem polinômios
e
em duas variáveis
e
tais que
onde
e
são polinômios homogêneos de grau
. O enunciado também mostra os primeiros termos dessas expansões:
O que tenho de provar: (i) que tais expressões valem para todo
; (ii) dar uma fórmula geral para os coeficientes; (iii) mostrar que cada termo é monômio de grau
(homogeneidade).
Passo 2
Ferramenta-chave: considere o número complexo
Recordar a identidade (fácil de aceitar ou derivar via a fórmula de Euler)
Esta identidade é conhecida como fórmula de De Moivre; ela diz que ao elevar
à potência
obtém-se exatamente
. Vou usar-a para obter as expansões pedidas.
Passo 3
Aplicar o Teorema binomial ao produto
. O teorema binomial diz que, para inteiro
,
Tomando
e
obtemos
Isto pode ser escrito como
Passo 4
Separar parte real e imaginária da soma acima. Para isso use que as potências de
têm ciclo:
Logo, quando
é par,
, tem-se
(real); quando
é ímpar,
, tem-se
(imaginário). Portanto a soma quebra-se em duas somas:
parte real (resulta em
):
Passo 5
Parte imaginária (resulta em
): aplicar o mesmo raciocínio aos
ímpares:
Passo 6
Escrever as fórmulas finais de forma limpa (estas são as expressões gerais procuradas):
Verificação rápida dos primeiros termos: para
, o termo
é
; o termo
é
e
, que coincide com o enunciado. Para
, o termo
é
; o
dá
com
, também coincidindo.
Passo 7
Mostrar a homogeneidade: cada monômio no somatório tem a forma constante
com
. Assim todos os termos têm grau total
nas variáveis
e
. Os coeficientes são números (inteiros combinatórios) e os sinais alternam segundo
. Portanto
e
existem e são exatamente os polinômios dados pelas somas acima; são homogêneos de grau
.
Resposta
[
\operatorname{sen} n\theta
\sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1){m}\binom{n}{2m+1}\cos{,n-(2m+1)}\theta,\operatorname{sen}^{2m+1}\theta.]