Calcule o número complexo:
z=4-i.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z=4-i
e pede para “calcular” esse número complexo. As informações fornecidas são: a parte real vale 4 e a parte imaginária vale -1. O que vamos obter como resultados (para você conferir no final) são: parte real, parte imaginária, conjugado, módulo, argumento (principal), forma polar/exponencial e a inversa 1/z.

Passo 2

Primeiro entenda a notação e as partes de um número complexo. Um número complexo genérico é escrito como
z=a+bi,
onde:
  • a é a parte real, escrita \Re(z)=a;
  • b é a parte imaginária, escrita \Im(z)=b;
  • i é a unidade imaginária, com a propriedade i^2=-1.
No nosso caso, comparando com a+bi, temos
\Re(z)=4,\qquad \Im(z)=-1.

Passo 3

Conjugado. O conjugado de z=a+bi é \overline{z}=a-bi. Ele troca o sinal da parte imaginária.
Aplicando ao nosso z:
\overline{z}=4+ i.

Passo 4

Módulo (ou módulo euclidiano). O módulo de z=a+bi mede a distância do ponto (a,b) até a origem no plano complexo e é dado por
|z|=\sqrt{a^2+b^2}.
Aqui a=4 e b=-1, portanto
|z|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
Se quiser uma aproximação numérica (que pode precisar de calculadora), \sqrt{17}\approx 4,123105626.

Passo 5

Argumento. O argumento \arg(z) é o ângulo \theta que o vetor do ponto (a,b) faz com o eixo real positivo. Para a\neq0 uma fórmula prática é
\theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
mas é preciso levar em conta o quadrante (sinal de a e b). No nosso caso a=4>0 e b=-1<0, então o ponto está no quarto quadrante e o argumento principal (no intervalo (-\pi,\pi]) é
\arg(z)=-\arctan\!\left(\frac{1}{4}\right).
Uma aproximação numérica é
\arg(z)\approx -0,244978663\\ \text{rad}\approx -14,036^\circ.
Se preferir o argumento no intervalo [0,2\pi), pode usar
\arg(z)=2\pi-\arctan\!\left(\frac{1}{4}\right)\approx 6,038206644\\ \text{rad}.

Passo 6

Forma polar e forma exponencial. Dado r=|z| e \theta=\arg(z), pode-se escrever
z=r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)=r e^{i\theta}.
Para o nosso z isso dá
z=\sqrt{17}\Bigl(\cos\!\bigl(-\arctan\!\tfrac{1}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(-\arctan\!\tfrac{1}{4}\bigr)\Bigr)
e, em forma exponencial,
z=\sqrt{17}\,e^{\,i\bigl(-\arctan\!(\tfrac{1}{4})\bigr)}.
Usando aproximações numéricas:
z\approx 4,123105626\bigl(\cos(-0,244978663)+i\sin(-0,244978663)\bigr).

Passo 7

Inversa (recíproco). A maneira rápida de calcular 1/z é usar
\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}.
Como \overline{z}=4+i e |z|^2=17, obtemos
\frac{1}{z}=\frac{4+i}{17}.

Resposta

\Re(z)=4
\Im(z)=-1
\overline{z}=4+i
|z|=\sqrt{17}
\arg(z)=-\arctan\!\left(\dfrac{1}{4}\right)\approx -0,244978663\\ \text{rad}
z=\sqrt{17}\Bigl(\cos\!\bigl(-\arctan\!\tfrac{1}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(-\arctan\!\tfrac{1}{4}\bigr)\Bigr)=\sqrt{17}\,e^{\,i\bigl(-\arctan\!(\tfrac{1}{4})\bigr)}
\dfrac{1}{z}=\dfrac{4+i}{17}

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