Calcule o número complexo:
z=\frac{-4}{\sqrt{3}-i}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o número complexo z dado por
z=\frac{-4}{\sqrt{3}-i}.
Informações fornecidas:
  • Numerador: -4.
  • Denominador: \sqrt{3}-i.
    A pergunta é encontrar o valor de z na forma padrão a+bi.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): quando há um número complexo no denominador, é comum eliminar a parte imaginária do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Para um complexo genérico a+bi o conjugado é a-bi. O produto do número pelo seu conjugado é sempre um número real:
(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2,
pois i^2=-1. Assim, ao multiplicar pelo conjugado, o denominador vira um real, o que facilita a simplificação.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o denominador é \sqrt{3}-i. O conjugado é \sqrt{3}+i. Multiplico numerador e denominador por esse conjugado:
z=\frac{-4}{\sqrt{3}-i}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i} =\frac{-4(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)}.

Passo 4

Calculo o denominador usando a identidade do produto pelo conjugado:
(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)=(\sqrt{3})^2-(i)^2=3-(-1)=3+1=4.

Passo 5

Substituindo o valor do denominador:
z=\frac{-4(\sqrt{3}+i)}{4}.
Agora simplifico cancelando o -4 com o 4:
z=-(\sqrt{3}+i)=-\sqrt{3}-i.
Coloquei o resultado na forma padrão a+bi, onde a=-\sqrt{3} e b=-1.

Passo 6

Resumo final e incentivo: o processo principal foi usar o conjugado para tornar o denominador real e então simplificar. Você já aprendeu o truque mais usado em provas para frações com números complexos — pratica mais umas vezes que fica automático!

Resposta

-\sqrt{3}-i

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