Prove que se A_{\mu \nu} é um tensor covariante de 2^{a} ordem, os determinantes das matrizes formadas por suas componentes nos sistemas de coordenadas \left\{x^{\alpha}\right\} e \left\{x^{\alpha^{\prime}}\right\} são relacionados por
\operatorname{det}\left[A_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}\right]=p^{-2} \operatorname{det}\left[A_{\mu \nu}\right]
onde
p \equiv \operatorname{det}\left[p_{\alpha}^{\alpha^{\prime}}\right]=\operatorname{det}\left[\frac{\partial x^{\alpha^{\prime}}}{\partial x^{\alpha}}\right]
é o Jacobiano da transformação \left\{x^{\alpha}\right\} \rightarrow\left\{x^{\alpha^{\prime}}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando A_{\mu\nu} é um tensor covariante de segunda ordem, os determinantes das matrizes de suas componentes em duas bases de coordenadas diferentes estão relacionados por
\det\bigl[A_{\mu'\nu'}\bigr]\;=\;p^{-2}\,\det\bigl[A_{\mu\nu}\bigr],
sendo
p \;=\;\det\Bigl[\tfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\Bigr]
o Jacobiano da mudança de coordenadas \{x^\alpha\}\to\{x^{\alpha'}\}.
O conteúdo principal é a lei de transformação de tensores covariantes e a propriedade de multiplicação de determinantes.

Passo 2

Pela lei de transformação de um tensor covariante de segunda ordem, suas componentes mudam como
A_{\mu'\nu'} =\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}}\, \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\nu'}}\, A_{\alpha\beta}.
Em notação matricial, se definirmos a matriz M cujos elementos são
M^{\alpha}{}_{\mu'} \;=\;\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}},
então a matriz A'=(A_{\mu'\nu'}) escreve-se
A' \;=\;M^{T}\,A\,M,
onde A=(A_{\alpha\beta}).

Passo 3

Usando a propriedade de determinante de um produto de matrizes, temos
\det(A') =\det\bigl(M^{T}\,A\,M\bigr) =\det(M^{T})\;\det(A)\;\det(M).
Como \det(M^{T})=\det(M), resulta
\det(A')=\bigl[\det(M)\bigr]^{2}\,\det(A).

Passo 4

Falta relacionar \det(M) com o Jacobiano p. Mas
\det(M) =\det\Bigl[\tfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}}\Bigr] =\frac{1}{\det\bigl[\tfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\alpha}}\bigr]} =\frac{1}{p}.
Logo
\det(A') =\bigl(p^{-1}\bigr)^{2}\,\det(A) =p^{-2}\,\det(A),
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\det\bigl[A_{\mu'\nu'}\bigr] = p^{-2}\,\det\bigl[A_{\mu\nu}\bigr].

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