Prove que se
é um tensor covariante de
ordem, os determinantes das matrizes formadas por suas componentes nos sistemas de coordenadas
e
são relacionados por
onde
é o Jacobiano da transformação
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando
é um tensor covariante de segunda ordem, os determinantes das matrizes de suas componentes em duas bases de coordenadas diferentes estão relacionados por
sendo
o Jacobiano da mudança de coordenadas
.
O conteúdo principal é a lei de transformação de tensores covariantes e a propriedade de multiplicação de determinantes.
O conteúdo principal é a lei de transformação de tensores covariantes e a propriedade de multiplicação de determinantes.
Passo 2
Pela lei de transformação de um tensor covariante de segunda ordem, suas componentes mudam como
Em notação matricial, se definirmos a matriz
cujos elementos são
então a matriz
escreve-se
onde
.
Passo 3
Usando a propriedade de determinante de um produto de matrizes, temos
Como
, resulta
Passo 4
Falta relacionar
com o Jacobiano
. Mas
Logo
que é exatamente o que se queria demonstrar.