Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{\log n}\right)

Passo 1

O enunciado pede analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log n}.
O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o teste de comparação com a série harmônica para decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Observe que, para todo n\ge3, vale
\log n < n,
portanto
\frac{1}{\log n} > \frac{1}{n}.
Como a série harmônica
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente, pelo teste de comparação direta a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{\log n}
também diverge. A retirada do termo n=2 não altera esse resultado.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log n} diverge.

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