Prove que, quando
, temos:
, se
;
Passo 1
O enunciado pede mostrar que, para um número real
com
, a sequência
converge para
quando
. Vamos usar a definição de limite de sequência e uma desigualdade que compara potências com exponenciais.
Passo 2
Como
, existe
tal que
Isso nos dá uma forma de “afastar”
de
por
.
Passo 3
Para todo
vale a desigualdade
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
Passo 4
Seja
. Como
quando
, existe
tal que, para todo
,
Pelo passo anterior segue
o que, pela definição de limite, implica