Prove que, quando n \rightarrow+\infty, temos:
a^{n} \rightarrow 0, se |a|<1;

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, para um número real a com \lvert a\rvert<1, a sequência \bigl(a^n\bigr)_{n\in\mathbb{N}} converge para 0 quando n\to+\infty. Vamos usar a definição de limite de sequência e uma desigualdade que compara potências com exponenciais.

Passo 2

Como \lvert a\rvert<1, existe \lambda>0 tal que
\lvert a\rvert = 1-\lambda.
Isso nos dá uma forma de “afastar” \lvert a\rvert de 1 por \lambda.

Passo 3

Para todo \lambda>0 vale a desigualdade
1-\lambda \le e^{-\lambda}.
Elevando ambos os lados à potência n, obtemos
\lvert a\rvert^n = (1-\lambda)^n \le e^{-\lambda n}.

Passo 4

Seja \varepsilon>0. Como e^{-\lambda n}\to0 quando n\to\infty, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
e^{-\lambda n} < \varepsilon.
Pelo passo anterior segue
\lvert a^n\rvert \le e^{-\lambda n} < \varepsilon,
o que, pela definição de limite, implica
\lim_{n\to\infty}a^n = 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^n = 0

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