Prove que, quando
, temos:
, se
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma base real
, a sequência
diverge para
quando
. O conteúdo que vamos usar inclui a definição de “limite igual a
” para sequências e a monotonicidade das funções logaritmo e exponencial.
Passo 2
Lembramos que, para
, o logaritmo natural satisfaz
e que a função exponencial e o logaritmo são inversas estritamente crescentes. Isso nos permite traduzir desigualdades envolvendo
em desigualdades envolvendo
.
Passo 3
Seja
. Queremos encontrar um
tal que, para todo
, tenha-se
. Começamos pela equivalência
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Passo 4
Basta agora escolher
Para esse
, sempre que
teremos
Isso demonstra, pela definição de limite infinito, que
diverge para
.
Resposta
A sequência
diverge para
sempre que
.