Prove que, quando n \rightarrow+\infty, temos:
a^{n} \rightarrow+\infty, se a>1;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma base real a>1, a sequência
x_n = a^n
diverge para +\infty quando n\to+\infty. O conteúdo que vamos usar inclui a definição de “limite igual a +\infty” para sequências e a monotonicidade das funções logaritmo e exponencial.

Passo 2

Lembramos que, para a>1, o logaritmo natural satisfaz
\ln(a)>0,
e que a função exponencial e o logaritmo são inversas estritamente crescentes. Isso nos permite traduzir desigualdades envolvendo a^n em desigualdades envolvendo n.

Passo 3

Seja M>0. Queremos encontrar um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, tenha-se a^n > M. Começamos pela equivalência
a^n > M \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\bigl(a^n\bigr) > \ln(M) \quad\Longleftrightarrow\quad n\,\ln(a) > \ln(M).
Como \ln(a)>0, podemos dividir ambos os lados por \ln(a) e obter
n > \frac{\ln(M)}{\ln(a)}.

Passo 4

Basta agora escolher
N = \left\lceil \frac{\ln(M)}{\ln(a)} \right\rceil.
Para esse N, sempre que n\ge N teremos
n > \frac{\ln(M)}{\ln(a)} \quad\Longrightarrow\quad a^n > M.
Isso demonstra, pela definição de limite infinito, que x_n = a^n diverge para +\infty.

Resposta

A sequência \bigl(a^n\bigr)_{n=1}^\infty diverge para +\infty sempre que a>1.

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