Questão 4 Seja x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}. Mostre que, ( x_{n} ) é crescente, limitada e, portanto, convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_{n}=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}
e pede para mostrarmos que (x_n) é crescente, que existe uma constante M tal que x_n\le M para todo n, e então concluir que (x_n) converge pelo Teorema da Convergência Monótona. Vamos usar a expansão binomial para comparar x_n e x_{n+1} e depois para encontrar um majorante.

Passo 2

Aplicando o Teorema Binomial em \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}, obtemos
x_n \;=\;\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} \;=\;1+\sum_{k=1}^{n}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\,n^{k}}.
Note que cada parcela para 1\le k\le n é positiva.

Passo 3

De modo análogo,
x_{n+1} =\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^{k}} =1+\sum_{k=1}^{n}\frac{(n+1)n\cdots(n-k+2)}{k!\,(n+1)^{k}} \;+\;\frac{1}{(n+1)!\,}(n+1)\cdots1.
Para cada 1\le k\le n temos
\frac{(n+1)n\cdots(n-k+2)}{(n+1)^{k}} \;=\;\prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\tfrac{j}{\,n+1}\Bigr) \;>\;\prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\tfrac{j}{\,n}\Bigr) =\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}.
Além disso surge a parcela extra de índice k=n+1, que é positiva. Logo cada termo da soma em x_{n+1} domina o correspondente em x_n e há uma parcela extra positiva, de modo que
x_{n+1}>x_n,
isto é, (x_n) é estritamente crescente.

Passo 4

Para achar um majorante, note que em cada termo da expansão de x_n temos
\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}\;<\;1,
pois cada fator \bigl(1-\tfrac{j}{n}\bigr)<1. Assim
x_n =1+\sum_{k=1}^{n}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\,n^{k}} \;<\;1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \;\le\;1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!} =e.
Portanto x_n<e para todo n, ou seja, a sequência é limitada superiormente por e.

Resposta

A sequência (x_n) é estritamente crescente e limitada superiormente por e. Pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge.

Exercícios relacionados