Questão 4 Seja
. Mostre que, (
) é crescente, limitada e, portanto, convergente.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrarmos que
é crescente, que existe uma constante
tal que
para todo
, e então concluir que
converge pelo Teorema da Convergência Monótona. Vamos usar a expansão binomial para comparar
e
e depois para encontrar um majorante.
Passo 2
Aplicando o Teorema Binomial em
, obtemos
Note que cada parcela para
é positiva.
Passo 3
De modo análogo,
Para cada
temos
Além disso surge a parcela extra de índice
, que é positiva. Logo cada termo da soma em
domina o correspondente em
e há uma parcela extra positiva, de modo que
isto é,
é estritamente crescente.
Passo 4
Para achar um majorante, note que em cada termo da expansão de
temos
pois cada fator
. Assim
Portanto
para todo
, ou seja, a sequência é limitada superiormente por
.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente e limitada superiormente por
. Pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge.