4 { }^{\text {a }} Questão ( 2,0 pontos) Considere a equação x^{6}+y^{6}=1.
(A) Determine y^{\prime},
(B) Determine y^{\prime \prime}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{6} + y^{6} = 1
e pede (A) a primeira derivada y' e (B) a segunda derivada y''. Vamos usar diferenciação implícita junto com regra da cadeia para obter y', e depois aplicar regra do quociente (ou produto) e substituir o valor de y' para encontrar y''.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^{6} + y^{6} = 1
em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}(x^{6}) + \frac{d}{dx}(y^{6}) = \frac{d}{dx}(1)
ou seja, aplicando regra da potência e da cadeia,
6x^{5} + 6y^{5}\,y' = 0.
Isolando y',
6y^{5}\,y' = -6x^{5} \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{x^{5}}{y^{5}}.

Passo 3

Para obter y'', escrevemos
y' = -\frac{x^{5}}{y^{5}}
e aplicamos a regra do quociente: se u = -x^{5} e v = y^{5}, então
y'' = \frac{u'v - u\,v'}{v^{2}} = \frac{(-5x^{4})\,y^{5} - (-x^{5})\,(5y^{4}y')}{(y^{5})^{2}}.
Isso dá
y'' = \frac{-5x^{4}y^{5} + 5x^{5}y^{4}y'}{y^{10}} = \frac{5y^{4}\bigl(x^{5}y' - x^{4}y\bigr)}{y^{10}}.
Substituindo y' = -x^{5}/y^{5} no termo entre parênteses,
x^{5}y' - x^{4}y = -\frac{x^{10}}{y^{5}} - x^{4}y = -\frac{x^{4}(x^{6}+y^{6})}{y^{5}} = -\frac{x^{4}}{y^{5}},
pois x^{6}+y^{6}=1. Logo,
y'' = \frac{5y^{4}\bigl(-\tfrac{x^{4}}{y^{5}}\bigr)}{y^{10}} = -\frac{5\,x^{4}}{y^{11}}.

Resposta

y' = -\frac{x^{5}}{y^{5}}, \quad y'' = -\frac{5\,x^{4}}{y^{11}}.

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