e pede para mostrar que \bigl(x_{n}\bigr) converge e determinar seu limite. O conteúdo principal é usar o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, além de identificar o ponto fixo da função f(x)=\tfrac12(x+a/x).
Passo 2
Mostramos primeiro que x_{n}>0 para todo n. De fato, x_{0}=a>0. Supondo x_{n}>0, então
Portanto, se x_{0}=a>\sqrt{a} (isto é, a>1) a sequência é decrescente e permanecem todos x_{n}\ge\sqrt{a}. Se 0<a<1 então x_{0}<\sqrt{a} e a sequência é crescente e permanece x_{n}\le\sqrt{a}. Em ambos os casos \bigl(x_{n}\bigr) é monotônica e limitada, logo converge.
Passo 4
Seja L=\lim_{n\to\infty}x_{n}. Como x_{n+1}=f(x_{n}) e f é contínua em (0,\infty), ao passar ao limite obtemos