Questão 5 Seja \left(x_{n}\right) é sequência definida recursivamente por
\left\{\begin{aligned} x_{0} & =a>0 \\\ x_{n+1} & =\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \end{aligned}\right.
Mostre que \\left(x_{n}\\\right) é convergente. Qual o valor do limite?

Passo 1

O enunciado define a sequência recursiva
\begin{cases} x_{0}=a>0,\\\ x_{n+1}=\frac12\Bigl(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\Bigr), \end{cases}
e pede para mostrar que \bigl(x_{n}\bigr) converge e determinar seu limite. O conteúdo principal é usar o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas e Limitadas, além de identificar o ponto fixo da função f(x)=\tfrac12(x+a/x).

Passo 2

Mostramos primeiro que x_{n}>0 para todo n. De fato, x_{0}=a>0. Supondo x_{n}>0, então
x_{n+1}=\frac12\Bigl(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\Bigr)>0
pois é média de dois números positivos. Logo todos os termos são positivos.

Passo 3

Definimos f(x)=\tfrac12(x+a/x). Note que um ponto fixo L satisfaz
L=f(L)\quad\Longrightarrow\quad L=\frac12\Bigl(L+\frac{a}{L}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad L^{2}=a.
Assim L=\sqrt{a} (descartamos -\sqrt{a} pois todos os x_{n} são positivos).
Agora estudamos monotonicidade e limitação de x_{n}=f(x_{n-1}). Calculamos
f(x)-x=\frac12\Bigl(x+\frac{a}{x}\Bigr)-x =\frac{a-x^{2}}{2x}.
  • Se x>\sqrt{a}, então a-x^{2}<0 e segue f(x)<x.
  • Se 0<x<\sqrt{a}, então a-x^{2}>0 e segue f(x)>x.
Além disso, para todo x>0,
f(x)-\sqrt{a} =\frac{x^{2}+a-2x\sqrt{a}}{2x} =\frac{(x-\sqrt{a})^{2}}{2x}\ge0,
logo f(x)\ge\sqrt{a}.
Portanto, se x_{0}=a>\sqrt{a} (isto é, a>1) a sequência é decrescente e permanecem todos x_{n}\ge\sqrt{a}. Se 0<a<1 então x_{0}<\sqrt{a} e a sequência é crescente e permanece x_{n}\le\sqrt{a}. Em ambos os casos \bigl(x_{n}\bigr) é monotônica e limitada, logo converge.

Passo 4

Seja L=\lim_{n\to\infty}x_{n}. Como x_{n+1}=f(x_{n}) e f é contínua em (0,\infty), ao passar ao limite obtemos
L=f(L) \quad\Longrightarrow\quad L=\frac12\Bigl(L+\frac{a}{L}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad L^{2}=a \quad\Longrightarrow\quad L=\sqrt{a}.

Resposta

A sequência \bigl(x_{n}\bigr) converge e
\lim_{n\to\infty}x_{n}=\sqrt{a}.

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