Seja a, b in Z com 0<a e 0<b. Então, existe n in Z tal que a<n b.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a,binZ com a>0 e b>0, e queremos mostrar que existe ninZ tal que
a < n,b
O que vamos usar é apenas que inteiros positivos são >=1 e que multiplicar por inteiro positivo preserva desigualdades.

Passo 2

Como binZ e b>0, concluímos
b >= 1

Passo 3

Definimos o candidato
n = a + 1,
que de fato é inteiro, pois ainZ.

Passo 4

Observamos que a+1 > a. Como a+1>0 e b>=1, ao multiplicar a desigualdade a+1> a por b obtemos
b,(a+1)>= 1,(a+1)=a+1> a
Logo
n,b = (a+1),b > a,
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

Uma escolha explícita é n = a+1, pois então
a < (a+1),b,
mostrando que existe ninZ com a<nb.

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