Sejja
um grupo multiplicativo com elemento neutro
Sendo
diferentes do elemento neutro tais que
e
, calcule
.
Passo 1
Estamos em um grupo multiplicativo
com elemento neutro
. Temos elementos
tais que
e
O que precisamos usar aqui é a ideia de que conjugação por
é um automorfismo interno de
, e queremos descobrir qual é a ordem de
, denotada por
.
Passo 2
Primeiro, note que aplicar a conjugação por
vezes significa calcular
Pela hipótese de conjugação simples temos
Fazendo isso de novo em
, vemos que
Por indução, conclui-se que para todo inteiro
vale
Passo 3
Como
, podemos usar
na fórmula acima e obter
Mas
, logo
Passo 4
Do fato
segue que a ordem de
divide
. Como
é número primo e
, a única possibilidade é