Sejja G um grupo multiplicativo com elemento neutro e Sendo a, b in G diferentes do elemento neutro tais que a^5=e e a b a^-1=b^2, calcule o(b).

Passo 1

Estamos em um grupo multiplicativo G com elemento neutro e. Temos elementos a,bneq e tais que
a^5=e
e
a,b,a^-1=b^2
O que precisamos usar aqui é a ideia de que conjugação por a é um automorfismo interno de G, e queremos descobrir qual é a ordem de b, denotada por o(b).

Passo 2

Primeiro, note que aplicar a conjugação por a n vezes significa calcular
a^n,b,a^-n
Pela hipótese de conjugação simples temos
a,b,a^-1=b^2
Fazendo isso de novo em b^2, vemos que
a,(b^2),a^-1=(a,b,a^-1)^2=(b^2)^2=b^2^2
Por indução, conclui-se que para todo inteiro n>=1 vale
a^n,b,a^-n=b^2^n

Passo 3

Como a^5=e, podemos usar n=5 na fórmula acima e obter
e,b,e = a^5,b,a^-5 = b^2^5 = b^32
Mas e,b,e=b, logo
b = b^32 Longrightarrow b^32-1=b^31=e

Passo 4

Do fato b^31=e segue que a ordem de b divide 31. Como 31 é número primo e bneq e, a única possibilidade é
o(b)=31

Resposta

31

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