Prove que um número inteiro é ímpar se e somente se ele for a soma de dois inteiros consecutivos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um número inteiro é ímpar se e somente se ele for a soma de dois inteiros consecutivos. Isso quer dizer que precisamos mostrar duas coisas:
- Se o número é ímpar, então ele pode ser escrito como a soma de dois números inteiros seguidos.
- Se um número pode ser escrito como a soma de dois números inteiros consecutivos, então ele é ímpar.
Vamos precisar usar conceitos de números pares e ímpares, além de entender como somar números consecutivos. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que se um número é ímpar, então ele pode ser escrito como a soma de dois inteiros consecutivos.
Vamos chamar nosso número ímpar de
. Sabemos que um número é ímpar se pode ser escrito como
, onde
é um número inteiro.
Agora, queremos encontrar dois números consecutivos que somados dão
. Vamos chamar esses números de
e
.
Então, temos:
Simplificando:
Como
, podemos igualar as duas expressões:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, os dois números consecutivos são
e
, e sua soma é
, que é ímpar. Portanto, mostramos que um número ímpar pode ser escrito como a soma de dois inteiros consecutivos.
Passo 3
Agora, vamos provar o contrário: se um número pode ser escrito como a soma de dois inteiros consecutivos, então ele é ímpar.
Vamos assumir que temos dois números inteiros consecutivos,
e
, cuja soma é
:
Simplificando:
Observe que
é sempre um número par, pois é o dobro de um inteiro. Quando adicionamos 1 a um número par, o resultado é ímpar. Portanto,
é um número ímpar.
Assim, mostramos que se um número é a soma de dois inteiros consecutivos, então ele necessariamente é ímpar.
Resposta
Concluímos que um número inteiro é ímpar se e somente se ele puder ser expresso como a soma de dois inteiros consecutivos.