Prove que um número inteiro é ímpar se e somente se ele for a soma de dois inteiros consecutivos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um número inteiro é ímpar se e somente se ele for a soma de dois inteiros consecutivos. Isso quer dizer que precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se o número é ímpar, então ele pode ser escrito como a soma de dois números inteiros seguidos.
  2. Se um número pode ser escrito como a soma de dois números inteiros consecutivos, então ele é ímpar.
Vamos precisar usar conceitos de números pares e ímpares, além de entender como somar números consecutivos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se um número é ímpar, então ele pode ser escrito como a soma de dois inteiros consecutivos.
Vamos chamar nosso número ímpar de . Sabemos que um número é ímpar se pode ser escrito como , onde é um número inteiro.
Agora, queremos encontrar dois números consecutivos que somados dão . Vamos chamar esses números de e .
Então, temos:
Simplificando:
Como , podemos igualar as duas expressões:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, os dois números consecutivos são e , e sua soma é , que é ímpar. Portanto, mostramos que um número ímpar pode ser escrito como a soma de dois inteiros consecutivos.

Passo 3

Agora, vamos provar o contrário: se um número pode ser escrito como a soma de dois inteiros consecutivos, então ele é ímpar.
Vamos assumir que temos dois números inteiros consecutivos, e , cuja soma é :
Simplificando:
Observe que é sempre um número par, pois é o dobro de um inteiro. Quando adicionamos 1 a um número par, o resultado é ímpar. Portanto, é um número ímpar.
Assim, mostramos que se um número é a soma de dois inteiros consecutivos, então ele necessariamente é ímpar.

Resposta

Concluímos que um número inteiro é ímpar se e somente se ele puder ser expresso como a soma de dois inteiros consecutivos.

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